「XJTU 数学分析II-1」2024 年半期考试试题及解答
考试信息
考试范围：集合与映射，实数理论，数列的极限，数项级数
考试时长：2.5h
满分：100 分
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「高等代数」浅谈缺项 Vandermonde 行列式
前置知识
Vandermonde 行列式定义: 形如下列的行列式称为 Vandermonde 行列式.
\[ V_n = \begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ a_1 & a_2 & \cdots & a_n \\ a_1^2 & a_2^2 & \cdots & a_n^2 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_1^{n - 2} & a_2^{n - 2} & \cdots & a_n^{n - 2} \\ a_1^{n - 1} & a_2^{n - 1} & \cdots & a_n^{n - 1} \end{vmatrix} = \prod\limits_{1 \le i < j \le n}{(a_j - a_i)} \]
The Day AFter OI
秒速340mを超えていけ（超越秒速340m）
——《月並みに輝け（平凡亦熠）》（結束バンド（结束乐队））
版本：2024 全国甲卷 四川副本（理科）
AFter OI
在参加 NOIP 2022
之后终于获得了省一，在当时由于对自己的文化课不太自信，报名了川大的网安少年班
于是水了几篇 CTF
的笔记还翘掉了由于疫情推迟的成都高二上期末调考。考试时候 OI
发挥得还不错、然而 CTF 由于考情估计错误只得了 20pts 谁 TMD
想得到基本全考 php 审计和逆向啊，耻辱淘汰。于是就正式退役了。
重回班上后意外地班上的同学都挺热情的。作为曾经班上的局外人也很快地融入了班级，开始直面
惨不忍睹 的文化课。
「HNOI2012」矿场搭建 - 点双连通分量 + 割点
题意描述
煤矿工地可以看成是由隧道连接挖煤点组成的无向图。为安全起见，希望在工地发生事故时所有挖煤点的工人都能有一条出路逃到救援出口处。于是矿主决定在某些挖煤点设立救援出口，使得无论哪一个挖煤点坍塌之后，其他挖煤点的工人都有一条道路通向救援出口。
请写一个程序，用来计算至少需要设置几个救援出口，以及不同最少救援出口的设置方案总数。
「SDOI2010」外星千年虫 - 高斯消元
题意描述
研究人员从外星带来了外星千年虫。他们发现，外星千年虫的足并不像地球千足虫成对出现、总共偶数条——它们每节身体下方都有着不定数量的足，但足的总数一定是奇数条！
虽然从外观难以区分二者，但通过统计足的数目，科学家们就能根据奇偶性判断出千足虫所属的星球。
作为 J 国派去 NASA 的秘密间谍，你希望参加这次研究活动以掌握进一步的情报，而 NASA 选拔的研究人员都是最优秀的科学家。于是 NASA 局长 Charles Bolden 出了一道难题来检测你的实力：
现在你面前摆有 \(1\ldots N\) 编号的 \(N\) 只千足虫，你的任务是鉴定每只虫子所属的星球，但不允许亲自去数它们的足。
Charles 每次会在这 \(N\) 只千足虫中选定若干只放入“昆虫点足机”（the Insect Feet Counter, IFC）中，“点足机”会自动统计出其内所有昆虫足数之和。Charles 会将这个和数 \(\bmod\) \(2\) 的结果反馈给你，同时告诉你一开始放入机器中的是哪几只虫子。
他的这种统计操作总共进行 \(M\) 次，而你应当尽早得出鉴定结果。
假如在第 \(K\) 次统计结束后，现有数据就足以确定每只虫子的身份，你就还应将这个 \(K\) 反馈给 Charles，此时若 \(K<M\)，则表明那后 \(M-K\) 次统计并非必须的。
如果根据所有 \(M\) 次统计数据还是无法确定每只虫子身份，你也要跟 Charles 讲明：就目前数据会存在多个解。
「JSOI2007」文本生成器 - AC 自动机 + DP
题意描述
JSOI 交给队员 ZYX 一个任务，编制一个称之为“文本生成器”的电脑软件：该软件的使用者是一些低幼人群，他们现在使用的是 GW 文本生成器 v6 版。
该软件可以随机生成一些文章——总是生成一篇长度固定且完全随机的文章。 也就是说，生成的文章中每个字符都是完全随机的。如果一篇文章中至少包含使用者们了解的一个单词，那么我们说这篇文章是可读的（我们称文章 \(s\) 包含单词 \(t\)，当且仅当单词 \(t\) 是文章 \(s\) 的子串）。但是，即使按照这样的标准，使用者现在使用的 GW 文本生成器 v6 版所生成的文章也是几乎完全不可读的。ZYX 需要指出 GW 文本生成器 v6 生成的所有文本中，可读文本的数量，以便能够成功获得 v7 更新版。你能帮助他吗？
答案对 \(10^4 + 7\) 取模。