「实变函数」实变期末复习习题集

发表于 2026-06-19 更新于 2026-06-23 分类于数学，学习笔记阅读次数：

~~几乎处处不可懂在复习至多可数遍后依然几乎处处不可懂 QAQ~~

学不会实变函数, 只能抄教材和板书, 狂背划重点了 ~~数学与背诵数学这一块~~.

结合函数的性质判断函数某些点集是否可数

例 1

\(\mathbb{R}\) 上单调函数的不连续集为可数集.

证明.

以单调上升函数为例: 若 \(x_{0}\) 为 \(f(x)\) 的不连续点, 则有 \[ f(x_{0} - 0) = \lim_{ x \to x_{0}^{-} } f(x) < \lim_{ x \to x_{0}^{+} } f(x) = f(x_{0} + 0). \] 因此, \(x_{0}\) 就对应着一个开区间 \((f(x_{0} - 0), f(x_{0} + 0))\). 显然, 对于两个不同的不连续点 \(x_{1}\) 及 \(x_{2}\), 区间 \((f(x_{1} - 0), f(x_{1} + 0))\) 与 \((f(x_{2} - 0), f(x_{2} + 0))\) 是互不相交的, 故只需看实轴上互不相交的开集族, 后者为可数集.

Q.E.D.

例 2

设 \(f(x)\) 是定义在 \(\mathbb{R}\) 上的实值函数, 则点集 \[ E = \{ x \in \mathbb{R} : \lim_{ y \to x } f(y) = +\infty \} \] 是可数集.

证明.

令 \(g(x) = \arctan f(x) \ (x \in \mathbb{R})\), 且作点集 \[ E = \left\{ x \in \mathbb{R} : \lim_{ y \to x } g(y) = \frac{\pi}{2} \right\}. \] 又有 \(g(x) < \frac{\pi}{2}\), 故对 \(\forall x \in E\), 有 \(\lim_{ y \to x } g(y) = \frac{\pi}{2} \neq g(x)\), 即在 \(x\) 不连续, 但存在右极限 \(g(x + 0)\), 故由下例知 \(E\) 是可数集.

Q.E.D.

例 3

设 \(f(x)\) 是定义在 \(\mathbb{R}\) 上的实值函数, 则点集 \[ \{ x \in \mathbb{R} : f(x) \text{ 在点 } x \text{ 处不连续, 但右极限 } f(x + 0) \text{ 存在} \} \] 是可数集.

证明.

令 \(S = \{ x \in \mathbb{R} : f(x + 0) \text{ 存在} \}\), 对每个自然数 \(n\), 作 \[ E_{n} = \left\{ x \in \mathbb{R} : \text{存在 } \delta > 0, \text{ 当 } x', x'' \in (x - \delta, x + \delta) \text{ 时, 有 } |f(x') - f(x'')| < \frac{1}{n} \right\}. \] 显然, \(\bigcap_{n=1}^{\infty} E_{n}\) 是 \(f(x)\) 的连续点集, 从而只需指出 \(S \setminus E_{n} \ (n = 1, 2, \cdots)\) 是可数集即可.

取定任意一个 \(n\), 并设 \(x \in S \setminus E_{n}\), 则存在 \(\delta > 0\), 使得 \[ |f(x') - f(x + 0)| < \frac{1}{2n}, \quad x' \in (x, x + \delta), \] 从而当 \(x', x'' \in (x, x + \delta)\) 时, 就有 \(|f(x') - f(x'')| < \frac{1}{n}\). 这说明 \((x, x + \delta) \subset E_{n}\). 也就是说, \(S \setminus E_{n}\) 中每一个点 \(x\) 是某个开区间 \(I_{x} = (x, x + \delta)\) 的左端点, 且 \(I_{x}\) 与 \(S \setminus E_{n}\) 不相交. 因此, 当 \(x_{1}, x_{2} \in S \setminus E_{n}\) 且 \(x_{1} \neq x_{2}\) 时, 我们得到 \(I_{x_{1}} \cap I_{x_{2}} = \varnothing\). 于是区间族 \(\{ I_{x} : x \in S \setminus E_{n} \}\) 是可数的, 即 \(S \setminus E_{n}\) 是可数集.

Q.E.D.

例 4

定义在 \((a, b)\) 上的 (下) 凸函数在至多除一可列集外的点上都是可微的.

证明.

所谓 \((a, b)\) 上的 (下) 凸函数 \(f(x)\), 是指对 \((a, b)\) 中任意两点 \(x_{1}, x_{2}\), \(x_{1} < x_{2}\), 均有 \[ f(x) \leq \frac{(x_{2} - x)f(x_{1}) + (x - x_{1})f(x_{2})}{x_{2} - x_{1}}, \quad x_{1} < x < x_{2}, \] 将上式进行线性变换, 有 \[ \frac{f(x) - f(x_{1})}{x - x_{1}} \leq \frac{f(x_{2}) - f(x)}{x_{2} - x}. \] 此外, 对 \(x < x_{2}' < x_{2}\), 我们有 \[ \frac{f(x_{2}') - f(x)}{x_{2}' - x} \leq \frac{f(x_{2}) - f(x)}{x_{2} - x}. \] 这说明存在右导数: \[ \lim_{ x_{2}' \to x+ } \frac{f(x_{2}') - f(x)}{x_{2}' - x} = f_{+}'(x) < +\infty. \] 类似地可知左导数 \(f_{-}'(x)\) 存在, 且有 \[ -\infty < f_{-}'(x) \leq f_{+}'(x) < +\infty. \] 故可分配区间 \(I_{x} = (f_{-}'(x), f_{+}'(x))\). 由 (下) 凸函数导单调性知, 若 \(x_{1} < x_{2}\), 则 \(f_{+}'(x_{1}) \leq f_{-}'(x_{2})\), 故 \(I_{x}\) 两两不交. 从而可得结论: \((a, b)\) 上的 (下) 凸函数在至多除一可数点集外都是可微的.

Q.E.D.

Lindelof 定理及证明

定理 (Lindelof 定理)

\(\mathbb{R}^{n}\) 中点集 \(E\) 的任一开覆盖 \(\Gamma\) 都含有一个可数子覆盖.

证明.

考虑开球族 \[ \mathcal{B} = \{ B(q, r) : q \in \mathbb{Q}^{n}, \ r \in \mathbb{Q}, \ r > 0 \}. \] 因为 \(\mathbb{Q}^{n}\) 可数, \(\mathbb{Q}^{+}\) 可数, 所以 \(\mathcal{B}\) 可数.

考虑证明对任意开集 \(G \subset \mathbb{R}^{n}\), 任意点 \(x \in G\), 都存在 \(B(q, r) \in \mathcal{B}\), 使得 \[ x \in B(q, r) \subset G. \] 由于 \(G\) 开, 故存在 \(\rho > 0\), 使得 \(B(x, \rho) \subset G\). 取有理点 \(q \in \mathbb{Q}^{n}\), 使得 \(|q - x| < \frac{\rho}{4}\), 再取有理数 \(r > 0\), 满足 \(|q - x| < r < \frac{\rho}{2}\). 于是 \(x \in B(q, r)\). 并且若 \(y \in B(q, r)\), 则 \[ |y - x| \leq |y - q| + |q - x| < r + \frac{\rho}{4} < \frac{3\rho}{4} < \rho. \] 所以 \(B(q, r) \subset B(x, \rho) \subset G\), 即 \(\mathbb{R}^{n}\) 有可数基.

设 \(\Gamma = \{ G_{\alpha} : \alpha \in A \}\) 是 \(E\) 的开覆盖. 即对每个 \(x \in E\), 存在某个 \(G_{\alpha} \in \Gamma\), 使得 \(x \in G_{\alpha}\). 由于 \(G_{\alpha}\) 是开集, 由上述可数基性质, 存在一个开球 \(B(q, r) \in \mathcal{B}\), 使得 \(x \in B(q, r) \subset G_{\alpha}\). 现在考虑所有满足下面条件的有理开球: \[ \mathcal{B}_{0} = \{ B \in \mathcal{B} : \exists G_{\alpha} \subset \Gamma, \ B \subset G_{\alpha} \}. \] 因为 \(\mathcal{B}_{0} \subset \mathcal{B}\), 而 \(\mathcal{B}\) 可数, 所以 \(\mathcal{B}_{0}\) 也至多可数. 对每个 \(B \in \mathcal{B}_{0}\), 选取一个 \(G_{B} \in \Gamma\), 使得 \(B \subset G_{B}\). 于是我们得到了一个至多可数集 \[ \{ G_{B} : B \in \mathcal{B}_{0} \} \subset \Gamma. \] 下面证明它覆盖 \(E\). 任取 \(x \in E\). 由前面的讨论, 存在 \(G_{\alpha} \in \Gamma\) 和有理开球 \(B(q, r) \in \mathcal{B}\), 使得 \(x \in B(q, r) \subset G_{\alpha}\). 所以 \(B(q, r) \in \mathcal{B}_{0}\). 按照构造, 存在对应的 \(G_{B(q, r)} \in \Gamma\), 并且 \(B(q, r) \subset G_{B(q, r)}\). 因此 \(x \in G_{B(q, r)}\). 这说明 \[ E \subset \bigcup_{B \in \mathcal{B}_{0}} G_{B}. \] 由于 \(B_{0}\) 至多可数, 所以 \(\{ G_{B} : B \in \mathcal{B}_{0} \}\) 是 \(\Gamma\) 的可数子覆盖.

Q.E.D.

可测集的定义 (Caratheodory 条件)

定义 (可测集)

设 \(E \subset \mathbb{R}^{n}\), 若对任意的点集 \(T \subset \mathbb{R}^{n}\), 有 \[ m^{*}(T) = m^{*}(T \cap E) + m^{*}(T \cap E^{c}), \] 则称 \(E\) 是 Lebesgue 可测集 (或 \(m^{*}\)-可测集), 简称 可测集, 其中 \(T\) 称为试验集 (这一定义可测集的等式也称为 Caratheodory 条件). 可测集的全体称为 可测集类, 简记为 \(\mathscr{M}\).

可测集的性质, 可列可加性

定理 (可测集的性质)

\(\varnothing \in \mathscr{M}\).

若 \(E \in \mathscr{M}\), 则 \(E^{c} \in \mathscr{M}\).

若 \(E_{1} \in \mathscr{M}\), \(E_{2} \in \mathscr{M}\), 则 \(E_{1} \cup E_{2}\), \(E_{1} \cap E_{2}\) 以及 \(E_{1} \setminus E_{2}\) 皆属于 \(\mathscr{M}\). (由此知, 可测集任何有限次取交、并运算后所得的集皆为可测集.)

若 \(E_{i} \in \mathscr{M} \ (i = 1, 2, \cdots)\), 则其并集也属于 \(\mathscr{M}\). 若进一步有 \(E_{i} \cap E_{j} = \varnothing \ (i \neq j)\), 则 \[ m^{*}\left( \bigcup_{i=1}^{\infty} E_{i} \right) = \sum_{i=1}^{\infty} m^{*}(E_{i}), \] 即 \(m^{*}\) 在 \(\mathscr{M}\) 上满足可数可加性 (或称为 \(\sigma\)-可加性).

证明.

显然成立
注意到 \((E^{c})^{c} = E\), 从定义可立即得出结论.
对于任一集 \(T \subset \mathbb{R}^{n}\), 根据集合分解与外测度的次可加性, 我们有 \[ \begin{align*} m^{*}(T) &\leq m^{*}(T \cap (E_{1} \cup E_{2})) + m^{*}(T \cap (E_{1} \cup E_{2})^{c}) \\ &= m^{*}(T \cap (E_{1} \cup E_{2})) + m^{*}((T \cap E_{1}^{c}) \cap E_{2}^{c}) \\ &\leq m^{*}((T \cap E_{1}) \cap E_{2}) + m^{*}((T \cap E_{1}) \cap E_{2}^{c}) + m^{*}((T \cap E_{1}^{c}) \cap E_{2}) + m^{*}((T \cap E_{1}^{c}) \cap E_{2}^{c}). \end{align*} \] 又由 \(E_{1}, E_{2}\) 的可测性知, 上式右端就是 \[ m^{*}(T \cap E_{1}) + m^{*}(T \cap E_{1}^{c}) = m^{*}(T). \] 这说明 \[ m^{*}(T) = m^{*}(T \cap (E_{1} \cup E_{2})) + m^{*}(T \cap (E_{1} \cup E_{2})^{c}). \] 也就是说 \(E_{1} \cup E_{2}\) 是可测集. 为证 \(E_{1} \cap E_{2}\) 是可测集, 只需注意 \(E_{1} \cap E_{2} = (E_{1}^{c} \cup E_{2}^{c})^{c}\) 即可. 又由 \(E_{1} \setminus E_{2} = E_{1} \cap E_{2}^{c}\) 可知, \(E_{1} \setminus E_{2}\) 是可测集.
首先, 设 \(E_{1}, E_{2}, \cdots, E_{k}, \cdots\) 皆互不相交, 并令 \[ S = \bigcup_{i=1}^{\infty} E_{i}, \quad S_{k} = \bigcup_{i=1}^{k} E_{i}, \ k =1, 2, \cdots. \] 由性质 3 知每个 \(S_{k}\) 都是可测集, 从而对任一集 \(T\), 我们有 \[ \begin{align*} m^{*}(T) &= m^{*}(T \cap S_{k}) + m^{*}(T \cap S_{k}^{c}) \\ &= m^{*}\left( \bigcup_{i=1}^{k} (T \cap E_{i}) \right) + m^{*}(T \cap S_{k}^{c}) \\ &= \sum_{i=1}^{k} m^{*}(T \cap E_{i}) + m^{*}(T \cap S_{k}^{c}). \end{align*} \] 由于 \(T \cap S_{k}^{c} \supset T \cap S^{c}\), 可知 \[ m^{*}(T) \geq \sum_{i=1}^{k} m^{*}(T \cap E_{i}) + m^{*}(T \cap S^{c}). \] 令 \(k \to \infty\), 就有 \[ m^{*}(T) \geq \sum_{i=1}^{\infty} m^{*}(T \cap E_{i}) + m^{*}(T \cap S^{c}). \] 由此可得 \[ m^{*}(T) \geq m^{*}(T \cap S) + m^{*}(T \cap S^{c}). \] 这说明 \(S \in \mathscr{M}\). 此外, 在公式 \[ m^{*}(T) \geq \sum_{i=1}^{\infty} m^{*}(T \cap E_{i}) + m^{*}(T \cap S^{c}) \] 中以 \(T \cap S\) 替换 \(T\), 则又可得 \[ m^{*}(T \cap S) \geq \sum_{i=1}^{\infty} m^{*}(T \cap E_{i}). \] 但反向不等式总是成立的, 因此实际上有 \[ m^{*}(T \cap S) = \sum_{i=1}^{\infty} m^{*}(T \cap E_{i}). \] 在这里再取 \(T\) 为全空间 \(\mathbb{R}^{n}\), 就可证明可数可加性质: \[ m^{*}(S) = m^{*}\left( \bigcup_{i=1}^{\infty} E_{i} \right) = \sum_{i=1}^{\infty} m^{*}(E_{i}). \] 其次, 对于一般的可测函数集列 \(\{ E_{i} \}\), 我们令 \[ S_{1} = E_{1}, \quad S_{k} = E_{k} \setminus \left( \bigcup_{i=1}^{k-1} E_{i} \right), \quad k \geq 2, \] 则 \(\{ S_{k} \}\) 是互不相交的可测集列. 而由 \(\bigcup_{i=1}^{\infty} E_{i} = \bigcup_{k=1}^{\infty} S_{k}\) 可知, \(\bigcup_{i=1}^{\infty} E_{i}\) 是可测集.

Q.E.D.

Steinhaus 定理及应用: 结合函数性质的应用

定理 (Steinhaus 定理)

设 \(E\) 是 \(\mathbb{R}^{n}\) 中的可测集, 且 \(m(E) > 0\). 作 (向量差) 点集 \[ E - E \xlongequal{\text{def}} \{ x - y : x, y \in E \}, \] 则存在 \(\delta_{0}\), 使得 \(E - E \supset B(0, \delta_{0})\).

例

设有定义在 \(\mathbb{R}\) 上的函数 \(f(x)\), 满足 \[ f(x + y) = f(x) + f(y), \quad x, y \in \mathbb{R}, \] 且在 \(E \subset \mathbb{R} \ (m(E) > 0)\) 上有界, 则 \(f(x) = xf(1) \ (x \in \mathbb{R})\).

证明.

首先, 由题设知, 对 \(r \in \mathbb{Q}\), 必有 \(f(r) = rf(1)\).

其次, 由 \(m(E) > 0\) 可知, 存在区间 \(I \colon I \subset E - E\). 不妨设 \(|f(x)| \leq M \ (x \in E)\), 又对任意的 \(x \in I\), 有 \(x', x'' \in E\), 使得 \(x = x' - x''\), 则 \[ |f(x)| = |f(x') - f(x'')| \leq |f(x')| + |f(x'')| \leq 2M. \]

记 \(I = [a, b]\), 并考查 \([0, b - a]\). 若 \(x \in [0, b - a]\), 则 \(x + a \in [a, b]\). 从而由 \(f(x) = f(x + a) - f(a)\) 可知, \(|f(x)| \leq 4M\), \(x \in [0, b - a]\). 记 \(b - a = c\), 这说明 \[ |f(x)| \leq 4M, \quad x \in [0, c]. \] 易知 \[ |f(x)| \leq 4M, \quad x \in [-c, c]. \]

已知对任意的 \(x \in \mathbb{R}\) 以及自然数 \(n\), 均存在有理数 \(r\), 使得 \(|x - r| < \frac{c}{n}\), 因此我们得到 \[ \begin{align*} |f(x) - xf(1)| &= |f(x - r) + rf(1) - xf(1)| \\ &= |f(x - r) + (r - x)f(1)| \\ &= \left| \frac{1}{n}f(n(x - r)) + (r - x)f(1) \right| \\ &\leq \frac{|f(n(x - r))|}{n} + |(r - x)f(1)| \\ &\leq \frac{4M + c|f(1)|}{n}. \end{align*} \] 根据 \(n\) 的任意性 (\(r\) 的任意性), 即得 \(f(x) = xf(1)\).

Q.E.D.

三种收敛定义、互推证明、反例

定义 (几乎处处收敛)

设 \(f(x), f_{1}(x), f_{2}(x), \cdots, f_{k}(x), \cdots\) 是定义在点集 \(E \subset \mathbb{R}^{n}\) 上的广义实值函数. 若存在 \(E\) 中的点集 \(Z\), 有 \(m(Z) = 0\) 及 \[ \lim_{ k \to \infty } f_{k}(x) = f(x), \quad x \in E \setminus Z, \] 则称 \(\{ f_{k}(x) \}\) 在 \(E\) 上 几乎处处收敛 于 \(f(x)\), 并记为 \[ f_{k}(x) \to f(x), \quad \text{a.e. } x \in E. \]

定义 (近一致收敛)

设 \(f(x), f_{1}(x), f_{2}(x), \cdots, f_{k}(x), \cdots\) 是 \(E\) 上几乎处处有限的可测函数. 若对任给的 \(\delta > 0\), 存在 \(E\) 的可测子集 \(E_{\delta} \colon m(E_{\delta}) \leq \delta\), 使得 \(\{ f_{k}(x) \}\) 在 \(E \setminus E_{\delta}\) 上一致收敛于 \(f(x)\), 则称 \(\{ f_{k}(x) \}\) 在 \(E\) 上 近一致收敛 于 \(f(x)\).

定义 (依测度收敛)

设 \(f(x), f_{1}(x), f_{2}(x), \cdots, f_{k}(x), \cdots\) 是 \(E\) 上几乎处处有限的可测函数. 若对任给的 \(\varepsilon > 0\), 有 \[ \lim_{ k \to \infty } m(\{ x \in E : |f_{k}(x) - f(x)| > \varepsilon \}) = 0, \] 则称 \(\{ f_{k}(x) \}\) 在 \(E\) 上 依测度收敛 于 \(f(x)\), 并记为 \[ f_{k}(x) \xrightarrow{m} f(x). \]

引理

设 \(f(x), f_{1}(x), f_{2}(x), \cdots, f_{k}(x), \cdots\) 是 \(E\) 上几乎处处有限的可测函数, 且 \(m(E) < +\infty\). 若 \(f_{k}(x) \to f(x), \ \text{a.e. } x \in E\), 则对任给 \(\varepsilon > 0\), 令 \[ E_{k}(x) = \{ x \in E : |f_{k}(x) - f(x)| \geq \varepsilon \}, \] 有 \[ \lim_{ j \to \infty } m\left( \bigcup_{k=j}^{\infty} E_{k}(\varepsilon) \right) = 0. \]

证明.

\(f_{k}(x), f(x)\) 均为可测, 则 \(\{ x \in E : |f_{k}(x) - f(x)| \geq \varepsilon \}\) 可测. 又 \(m(E) < \infty\), \(\bigcup_{k=j}^{\infty} E_{k}(\varepsilon)\) 为递缩可测集列, 则 \[ \lim_{ j \to \infty } m\left( \bigcup_{k=j}^{\infty} E_{k}(\varepsilon) \right) = m\left( \lim_{ j \to \infty } \bigcup_{k=j}^{\infty} E_{k}(\varepsilon) \right) = m\left( \bigcap_{j=1}^{\infty} \bigcup_{k=j}^{\infty} E_{k}(\varepsilon) \right). \] \[ \bigcap_{j=1}^{\infty} \bigcup_{k=j}^{\infty} E_{k}(\varepsilon) = \{ x \in E : \forall j \in \mathbb{N}, \ \exists k \geq j, \text{ s.t. } |f_{k}(x) - f(x)| \geq \varepsilon \} \subseteq \{ x : f_{k}(x) \not\to f(x) \}. \] 因 \(f_{k}(x) \to f(x), \ \text{a.e. } x \in E\), 则 \(m\left( \bigcap_{j=1}^{\infty} \bigcup_{k=j}^{\infty} E_{k}(\varepsilon) \right) = 0\).

Q.E.D.

定理 (Egrov 定理)

若 \(\{ f_{k}(x) \}\) 在 \(E\) 上几乎处处收敛于 \(f(x)\), 且 \(m(E) < +\infty\), 则 \(\{ f_{k}(x) \}\) 在 \(E\) 上近一致收敛于 \(f(x)\).

定理 (Riesz 定理)

若 \(\{ f_{k}(x) \}\) 在 \(E\) 上依测度收敛于 \(f(x)\), 则存在子列 \(\{ f_{k_{i}}(x) \}\), 使得 \[ \lim_{ i \to \infty } f_{k_{i}}(x) = f(x), \quad \text{a.e. } x \in E. \]

定理 (Egrov 逆定理)

设 \(f(x), f_{1}(x), f_{2}(x), \cdots, f_{k}(x), \cdots\) 是 \(E\) 上几乎处处有限的可测函数. 若 \(\{ f_{k}(x) \}\) 在 \(E\) 上近一致收敛于 \(f(x)\), 则 \(\{ f_{k}(x) \}\) 在 \(E\) 上 a.e. 收敛于 \(f(x)\).

证明.

对 \(\forall i \in \mathbb{N}\), 存在 \(E_{i} \subseteq E\), s.t. \(m(E_{i}) < \frac{1}{i}\). 则 \(f_{k}(x) \to f(x)\) 一致收敛, \(\forall x \in E \setminus E_{i}\). 令 \(E' = \bigcap_{i=1}^{\infty} E_{i}\), 则 \(E' \subseteq E_{i}, \ m(E') \leq m(E_{i}) < \frac{1}{i} \implies m(E') = 0\). 而对 \(\forall x \in E \setminus E' = E \setminus \left( \bigcap_{i=1}^{\infty} E_{i} \right) = \bigcup_{i=1}^{\infty} (E \setminus E_{i})\), 则 \(\exists i_{x} \in \mathbb{N}\), s.t. \(x \in E \setminus E_{i_{x}}\), 即 \(f_{k}(x) \to f(x)\). 即 \(f_{k}(x) \to f(x), \ \forall x \in E \setminus E'\). 又 \(m(E') = 0\), 则 \(f_{k}(x) \to f(x), \ \text{a.e. } x \in E\).

Q.E.D.

定理 (Lebesgue)

设 \(\{ f_{k}(x) \}\) 是 \(E\) 上几乎处处有限的可测函数列, 且 \(m(E) < +\infty\). 若 \(\{ f_{k}(x) \}\) 几乎处处收敛于几乎处处有限的函数 \(f(x)\), 则 \(\{ f_{k}(x) \}\) 在 \(E\) 上依测度收敛于 \(f(x)\) (反之不然).

证明.

\(f_{k}(x)\) 满足引理条件, 从而对 \(\forall \varepsilon > 0\), 有 \[ \lim_{ j \to \infty } m\left( \bigcup_{k=j}^{\infty} \{ x \in E : |f_{k}(x) - f(x)| \geq \varepsilon \} \right) = 0. \] 更有 \[ \lim_{ j \to \infty } m(\{ x \in E : |f_{j}(x) - f(x)| \geq \varepsilon \}) = 0. \] 即 \(f_{k}(x)\) 在 \(E\) 上依测度收敛.

Q.E.D.

定理 (近一致收敛 \(\implies\) 依测度收敛)

设 \(f(x), f_{1}(x), f_{2}(x), \cdots, f_{k}(x), \cdots\) 是 \(E\) 上几乎处处有限的可测函数. 若 \(\{ f_{k}(x) \}\) 在 \(E\) 上近一致收敛于 \(f(x)\), 则 \(\{ f_{k}(x) \}\) 在 \(E\) 上依测度收敛于 \(f(x)\).

证明.

对 \(\forall \varepsilon > 0\), \(\forall \delta > 0\), 存在 \(E_{\delta} \subset E\), \(m(E_{\delta}) < \delta\), 存在自然数 \(k_{0}\) (\(k_{0}\) 与 \(x\) 无关), s.t. 当 \(k > k_{0}\) 时, \[ |f_{k}(x) - f(x)| < \varepsilon, \quad \forall x \in E \setminus E_{\delta}. \] 从而 \[ \{ x \in E : |f_{k}(x) - f(x)| \geq \varepsilon \} \subseteq E_{\delta}. \] \[ m(\{ x \in E : |f_{k}(x) - f(x)| \geq \varepsilon \}) < \delta. \] 则 \[ \lim_{ k \to \infty } m(\{ x \in E : |f_{k}(x) - f(x)| \geq \varepsilon \}) = 0. \] 则 \[ f_{k}(x) \xrightarrow{m} f(x). \]

Q.E.D.

定理 (依测度收敛 \(\implies\) 近一致收敛)

若 \(\{ f_{k}(x) \}\) 在 \(E\) 上依测度收敛于 \(f(x)\), 则存在子列 \(\{ f_{k_{i}}(x) \}\) 在 \(E\) 上近一致收敛于 \(f(x)\).

证明.

由 \(f_{k}(x) \xrightarrow{m} f(x)\), 即对 \(\forall i \in \mathbb{N}\), \(\exists k_{i} \in \mathbb{N}\), s.t. \[ m\left( \left\{ x \in E : |f_{k_{i}}(x) - f(x)| > \frac{1}{2^{i}} \right\} \right) < \frac{1}{2^{i}}. \] 且 \(k_{1} < k_{2} < \cdots\).

令 \[ E_{i} = \left\{ x \in E : |f_{k_{i}}(x) - f(x)| > \frac{1}{2^{i}} \right\}. \] 令 \(\mathcal{E}_{j} = \bigcup_{i \geq j} E_{i}\), 则 \(m(\mathcal{E}_{j}) \leq \sum_{i=j}^{\infty} m(E_{i}) = \sum_{i=j}^{\infty} \frac{1}{2^{i}} = \frac{1}{2^{j - 1}}\). 从而对 \(\forall x \in E \setminus \mathcal{E}_{j} = \bigcap_{i \geq j} (E \setminus E_{i})\), \[ E \setminus E_{i} = \left\{ x \in E : |f_{k_{i}}(x) - f(x)| \leq \frac{1}{2^{i}} \right\}. \] 即对 \(\forall i \geq j\) 有 \(|f_{k_{i}}(x) - f(x)| \leq \frac{1}{2^{i}}\). 也即 \(f_{k_{i}}(x)\) 在 \(E \setminus \mathcal{E}_{j}\) 上一致收敛, 且 \(m(\mathcal{E}_{j}) < \frac{1}{2^{j - 1}}\) 可任意小. 知 \(f_{k_{i}}\) 在 \(E\) 上近一致收敛于 \(f(x)\).

Q.E.D.

例 1 (Egrov 定理的反例)

Egrov 定理中条件 \(m(E) < +\infty\) 不能去掉. 例如考虑可测函数列 \[ f_{n}(x) = \chi_{(0, n)}(x), \quad n = 1, 2, \cdots, \quad x \in (0, +\infty). \] 它在 \((0, +\infty)\) 上处处收敛于 \(f(x) \equiv 1\), 但在 \((0, +\infty)\) 中的任一个有限测度外均不一致收敛于 \(f(x) \equiv 1\).

例 2 (依测度收敛但不是几乎处处收敛)

令 \(E = (0, 1]\), 将 \(E\) 二等分, 定义 \[ \begin{align*} f_{1}^{(1)} &= \begin{cases} 1 & x \in \left( 0, \frac{1}{2} \right] \\ 0 & x \in \left( \frac{1}{2}, 1 \right] \end{cases} \\ f_{2}^{(1)} &= \begin{cases} 0 & x \in \left( 0, \frac{1}{2} \right] \\ 1 & x \in \left( \frac{1}{2}, 1 \right] \end{cases} \end{align*} \] 然后将 \(E\) 四等分, 得 \(f_{1}^{(2)}, f_{2}^{(2)}, f_{3}^{(2)}, f_{4}^{(2)}\). 以此类推, 最后将 \(\{ f_{j}^{(k)} \}\) 先按 \(k\), 再按 \(j\) 由小到大顺序排列 \[ f_{1}^{(1)}, f_{2}^{(1)}, f_{1}^{(2)}, f_{2}^{(2)}, f_{3}^{(2)}, f_{4}^{(2)}, \cdots. \] \(f_{j}^{(k)}\) 在这个列中第 \(N = 2^{k} - 2 + j\) 个位置. 可证明 \(f_{j}^{(k)}\) 依测度收敛于 \(0\), 但在 \((0, 1]\) 上任一点都不收敛.

例 3 (处处收敛 (a.e. 收敛) 但不依测度收敛)

令 \(E = (0, +\infty)\), 作函数列 \[ f_{k}(x) = \begin{cases} 1 & x \in (0, k] \\ 0 & x \in (k, +\infty) \end{cases}, \quad k = 1, 2, \cdots. \] 显然 \(f_{k}(x) \to f(x) \equiv 1, \ \forall x \in (0, +\infty)\). 但对 \(\forall \varepsilon \in (0, 1)\), 有 \[ \{ x : |f_{k}(x) - 1| > \varepsilon \} = (k, +\infty). \] 则 \(m(\{ x : |f_{k}(x)| - 1 > \varepsilon\}) = \infty \not\to 0\), \(f_{k}(x)\) 不依测度收敛于 \(f(x) \equiv 1\).

Lusin 定理及证明

定理 (Lusin 定理)

若 \(f(x)\) 是 \(E \subset \mathbb{R}^{n}\) 上的几乎处处有限的可测函数, 则对任给的 \(\delta > 0\), 存在 \(E\) 中的闭集 \(F\), \(m(E \setminus F) < \delta\), 使得 \(f(x)\) 是 \(F\) 上的连续函数.

Levi \(\implies\) Fatou

定理 (Beppo Levi 非负渐升列积分定理 / Levi (渐近) 定理)

设有定义在 \(E\) 上的非负可测函数渐升列: \[ f_{1}(x) \leq f_{2}(x) \leq \cdots \leq f_{k}(x) \leq \cdots, \] 且有 \(\lim_{ k \to \infty } f_{k}(x) = f(x), \ x \in E\), 则 \[ \lim_{ k \to \infty } \int_{E} f_{k}(x) \, \mathrm{d}x = \int_{E} f(x) \, \mathrm{d}x. \]

定理 (Fatou 引理)

若 \(\{ f_{k}(x) \}\) 是 \(E\) 上的非负可测函数列, 则 \[ \int_{E} \varliminf_{k \to \infty} f_{k}(x) \, \mathrm{d}x \leq \varliminf_{k \to \infty} \int_{E} f_{k}(x) \, \mathrm{d}x. \]

Fatou 引理严格不等号成立的例子

例 1 (集中爆破)

\(f_{n}(x)\) 定义在 \([0, 1]\) 上, \[ f_{n}(x) = \begin{cases} n & x \in \left( 0, \frac{1}{n} \right) \\ 0 & x \in [0, 1] \setminus \left( 0, \frac{1}{n} \right) \end{cases} \] 则 \(\lim_{ n \to \infty } f_{n}(x) = f(x) \equiv 0\), \(\int_{[0, 1]} f_{n}(x) \, \mathrm{d}x = 1\), \(\int_{[0, 1]} f(x) \, \mathrm{d}x = 0\).

例 2 (消失)

\(f_{n}(x)\) 定义在 \([0, +\infty)\) 上, \[ f_{n}(x) = \begin{cases} \frac{1}{n} & x \in (0, n) \\ 0 & x \in [0, +\infty) \setminus (0, n) \end{cases} \] 则 \(\lim_{ n \to \infty } f_{n}(x) = f(x) \equiv 0\), \(\int_{[0, +\infty)} f_{n}(x) \, \mathrm{d}x = 1\), \(\int_{[0, +\infty)} f(x) \, \mathrm{d}x = 0\).

例 3 (二分)

\(f_{n}(x)\) 定义在 \(\mathbb{R}\) 上, \[ f_{n}(x) = \begin{cases} \frac{1}{2} & x \in (n, n + 1) \cup (-(n + 1), -n) \\ 0 & x \in \mathbb{R} \setminus ((n, n + 1) \cup (-(n + 1), -n)) \end{cases} \] 则 \(\lim_{ n \to \infty } f_{n}(x) = f(x) \equiv 0\), \(\int_{\mathbb{R}} f_{n}(x) \, \mathrm{d}x = 1\), \(\int_{\mathbb{R}} f(x) \, \mathrm{d}x = 0\).

Lebesgue 控制收敛定理及应用

定理 (Lebesgue 控制收敛定理 / LDCT)

设 \(f_{k} \in L(E) \ (k = 1, 2, \cdots)\), 且有 \[ \lim_{ k \to \infty } f_{k}(x) = f(x), \quad \text{a.e. } x \in E. \] 若存在 \(E\) 上的可积函数 \(F(x)\), 使得 \[ |f_{k}(x)| \leq F(x), \quad \text{a.e. } x \in E \ (k = 1, 2, \cdots), \] 则 \[ \lim_{ k \to \infty } \int_{E} f_{k}(x) \, \mathrm{d}x = \int_{E} f(x) \, \mathrm{d}x. \] (通常称 \(F(x)\) 为函数列 \(\{ f_{k}(x) \}\) 的 控制函数.)

注

实际上可证明更强的结论: \[ \lim_{ k \to \infty } \int_{E} |f_{k}(x) - f(x)| \, \mathrm{d}x = 0. \] 称其为 \(f_{k}(x)\) 在 \(E\) 上依 \(L^{1}\) 的意义收敛于 \(f(x)\).

上述控制收敛定理的一个特例是有界收敛定理: 设 \(\{ f_{k}(x) \}\) 是 \(E\) 上的可测函数列, \(m(E) < +\infty\), 且对 \(x \in E\) 有 \[ \lim_{ k \to \infty } f_{k}(x) = f(x), \quad |f_{k}(x)| \leq M \quad (k = 1, 2, \cdots), \] 则 \(f \in L(E)\), 且 \[ \lim_{ k \to \infty } \int_{E} f_{k}(x) \, \mathrm{d}x = \int_{E} f(x) \, \mathrm{d}x. \]

定理 (依测度收敛型控制收敛定理 / Lebesgue 控制收敛定理 / LDCT)

设 \(f_{k} \in L(\mathbb{R}^{n}) \ (k = 1, 2, \cdots)\), 且 \(f_{k}(x)\) 在 \(\mathbb{R}^{n}\) 上依测度收敛于 \(f(x)\). 若存在 \(F \in L(\mathbb{R}^{n})\), 使得 \[ |f_{k}(x)| \leq F(x), \quad (k = 1, 2, \cdots; \ \text{a.e. } x \in \mathbb{R}^{n}), \] 则 \(f \in L(\mathbb{R}^{n})\), 且有 \[ \lim_{ k \to \infty } \int_{\mathbb{R}^{n}} f_{k}(x) \, \mathrm{d}x = \int_{\mathbb{R}^{n}} f(x) \, \mathrm{d}x. \]

注

对于 \(E\) 上依测度收敛于 \(f \in L(E)\) 的非负可积函数列 \(\{ f_{k}(x) \}\), 若有 \[ \lim_{ k \to \infty } \int_{E} f_{k}(x) \, \mathrm{d}x = \int_{E} f(x) \, \mathrm{d}x, \] 则 \[ \lim_{ k \to \infty } \int_{E} |f_{k}(x) - f(x)| \, \mathrm{d}x = 0. \]

例 1

设 \(f_{n} \in C^{(1)}((a, b)) \ (n = 1, 2, \cdots)\), 且有 \[ \lim_{ n \to \infty } f_{n}(x) = f(x), \quad \lim_{ n \to \infty } f_{n}'(x) = F(x), \quad x \in (a, b). \] 若 \(f'(x), F(x)\) 在 \((a, b)\) 上连续, 则 \(f'(x) = F(x), \ x \in (a, b)\).

证明.

只需指出在 \((a, b)\) 的一个稠密子集上有 \(f'(x) = F(x)\) 即可. 为此, 任取 \((a, b)\) 中的子区间 \([c, d]\), 且记 \[ E_{n} = \{ x \in [c, d] : |f_{k}'(x) - F(x)| \leq 1, \ k \geq n \}, \] 易知每个 \(E_{n}\) 皆闭集, 且\([c, d] = \bigcup_{n=1}^{\infty} E_{n}\). 从而根据 Baire 定理可知, 存在 \(n_{0}\) 以及区间 \([c', d']\), 使得 \(E_{n_{0}} \supset [c', d']\). 由于 \[ |f_{k}'(x) - F(x)| \leq 1 \quad (k \geq n_{0}), \ x \in [c', d'], \] 故知 \(k \geq n_{0}\) 时, \({f_{k}'(x)}\) 在 \([c', d']\) 上一致有界. 这样, 由等式 \[ \int_{[c', x]} f_{k}'(t) \, \mathrm{d}t = f_{k}(x) - f_{k}(c'), \quad c' < x < d', \] 可知 (有界收敛定理) \[ \int_{[c', x]} F(t) \, \mathrm{d}t = f(x) - f(c'), \quad c' < x < d'. \] 在等式两端对 \(x\) 求导可得 \[ F(x) = f'(x), \quad c' < x < d', \] 即得所证.

Q.E.D.

例 2

\[ \int_{[0, 1]} \frac{x\sin x}{1 + (nx)^{\alpha}} \, \mathrm{d}x = o\left( \frac{1}{n} \right) \quad (n \to \infty, \ \alpha > 1). \]

证明.

往证 \(\int_{[0, 1]} \frac{nx\sin x}{1 + (nx)^{\alpha}} \, \mathrm{d}x \to 0 \ (n \to \infty)\). 令 \[ g(x) = 1 + (nx)^{\alpha} - nx^{\frac{3}{2}} \quad (g(0) = 1, \ g(1) = 1 + n^{\alpha} - n), \] 易知, 在 \(1 < \alpha \leq \frac{3}{2}\) 且 \(n\) 无穷大时, \(g(x)\) 在 \([0, 1]\) 中有极值点, 从而在 \(n\) 充分大时, 不难得出 \[ 0 < \frac{nx\sin x}{1 + (nx)^{\alpha}} \leq \frac{1}{\sqrt{ x }} \quad (x \in [0, 1]). \] 根据控制收敛定理即得所证.

Q.E.D.

其实教材上的做法有些许繁琐, 直接换元取上界或许更加简便. 显然 \(\frac{nx\sin x}{1 + (nx)^{\alpha}}\) 对 \(x \in [0, 1]\) 逐点收敛于 \(0\), 于是只需找到控制函数即可. 考虑换元 \(t = nx\), 则有 \[ \frac{nx\sin x}{1 + (nx)^{\alpha}} = \frac{t}{1 + t^{\alpha}}\sin x. \] 显然 \(\frac{t}{1 + t^{\alpha}}\) 在 \([0, +\infty)\) 有界. 设其上界为 \(C\), 则有 \[ \left| \frac{nx\sin x}{1 + (nx)^{\alpha}} \right| = \left| \frac{t}{1 + t^{\alpha}} \right| \cdot |\sin x| \leq C|\sin x|. \] 显然该控制函数在 \([0, 1]\) 中可积.

例 3

\[ \int_{[a, +\infty)} \frac{xe^{-n^{2}x^{2}}}{1 + x^{2}} \, \mathrm{d}x = o\left( \frac{1}{n^{2}} \right) \quad (n \to \infty, \ a > 0). \]

证明.

只需指出 \(I = \lim_{ n \to \infty } \int_{[\alpha, +\infty)} \frac{n^{2}xe^{-n^{2}x^{2}}}{1 + x^{2}} \, \mathrm{d}x = 0\) 即可. 令 \(u = nx\), 则 \[ I = \int_{[na, +\infty)} \frac{ue^{-u^{2}}}{1 + \frac{u^{2}}{n^{2}}} \, \mathrm{d}u = \int_{[0, +\infty)} \chi_{[na, +\infty)}(u) \frac{ue^{-u^{2}}}{1 + \frac{u^{2}}{n^{2}}} \, \mathrm{d}u. \] 注意到 \[ \lim_{ n \to \infty } \chi_{[na, +\infty)}(u) \frac{ue^{-u^{2}}}{1 + \frac{u^{2}}{n^{2}}} = 0, \] \[ 0 \leq \chi_{[na, +\infty)}(u) \frac{ue^{-u^{2}}}{1 + \frac{u^{2}}{n^{2}}} \leq ue^{-u^{2}} \quad (0 \leq u < +\infty), \] 以及 \(ue^{-u^{2}}\) 在 \([0, +\infty)\) 上可积, 故根据控制收敛定理即得所证.

Q.E.D.

可用与例 2 类似的简便方法解决. 显然 \(\frac{n^{2}xe^{-n^{2}x^{2}}}{1 + x^{2}}\) 对 \(x \in [a, +\infty)\) 逐点收敛于 \(0\), 于是只需找到控制函数即可. 考虑换元 \(t = n^{2}x^{2}\), 则有 \[ \frac{n^{2}xe^{-n^{2}x^{2}}}{1 + x^{2}} = \frac{te^{-t}}{x(1 + x^{2})}. \] 显然 \(te^{-t}\) 在 \([a^{2}, +\infty)\) 有界. 设其上界为 \(C\), 则有 \[ \left| \frac{n^{2}xe^{-n^{2}x^{2}}}{1 + x^{2}} \right| = \frac{te^{-t}}{x(1 + x^{2})} \leq \frac{C}{x(1 + x^{2})}. \] 显然该控制函数在 \([a, +\infty)\) 中可积.

Tonelli 定理、Fubini 定理及应用

定理 (Tonelli 定理)

设 \(f(x, y)\) 是 \(\mathbb{R}^{n} = \mathbb{R}^{p} \times \mathbb{R}^{q}\) 上的非负可测函数, 则有 1. 对于几乎处处的 \(x \in \mathbb{R}^{p}\), \(f(x, y)\) 作为 \(y\) 的函数是 \(\mathbb{R}^{q}\) 上的非负可测函数; 2. 记 \(F_{f}(x) = \int_{\mathbb{R}^{q}} f(x, y) \, \mathrm{d}y\), 则 \(F_{f}(x)\) 是 \(\mathbb{R}^{p}\) 上的非负可测函数; 3. \[ \int_{\mathbb{R}^{p}} F_{f}(x) \, \mathrm{d}x = \int_{\mathbb{R}^{p}} \mathrm{d}x \, \int_{\mathbb{R}^{q}} f(x, y) \, \mathrm{d}y = \int_{\mathbb{R}^{n}} f(x, y) \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y. \]

注

改变 \(x \in \mathbb{R}^{p}\) 与 \(y \in \mathbb{R}^{q}\) 的次序, 结论同样成立. 因此, 实际上我们可得 \[ \int_{\mathbb{R}^{n}} f(x, y) \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y = \int_{\mathbb{R}^{p}} \mathrm{d}x \, \int_{\mathbb{R}^{q}} f(x, y) \, \mathrm{d}y = \int_{\mathbb{R}^{q}} \mathrm{d}y \, \int_{\mathbb{R}^{p}} f(x, y) \, \mathrm{d}x. \]

若 \(f(x, y)\) 是 \(E\) 上的非负可测函数, 则可用 \(f(x, y)\chi_{E}(x, y)\) 代替定理中的 \(f(x, y)\), 我们有 \[ \int_{E} f(x, y) \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y = \int_{\mathbb{R}^{p}} \mathrm{d}x \, \int_{\mathbb{R}^{q}} f(x, y)\chi_{E}(x, y) \, \mathrm{d}y. \]

定理 (Fubini 定理)

若 \(f \in L(\mathbb{R}^{n})\), \((x, y) \in \mathbb{R}^{n} = \mathbb{R}^{p} \times \mathbb{R}^{q}\), 则 1. 对于几乎处处的 \(x \in \mathbb{R}^{p}\), \(f(x, y)\) 是 \(\mathbb{R}^{q}\) 上的可积函数; 2. 积分 \[ \int_{\mathbb{R}^{q}} f(x, y) \, \mathrm{d}y \] 是 \(\mathbb{R}^{p}\) 上的可积函数; 3. 我们有 \[ \int_{\mathbb{R}^{n}} f(x, y) \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y = \int_{\mathbb{R}^{p}} \mathrm{d}x \, \int_{\mathbb{R}^{q}} f(x, y) \, \mathrm{d}y = \int_{\mathbb{R}^{q}} \mathrm{d}y \, \int_{\mathbb{R}^{p}} f(x, y) \, \mathrm{d}x. \]

注

设 \(f(x) = f(\xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{n})\) 在开球 \(B(0, r) \subset \mathbb{R}^{n}\) 上有表达式 \[ f(x) = \mathop{\sum^{\infty} \cdots \sum^{\infty}}_{(k_{1}, \cdots, k_{n}) = (1, \cdots, 1)} a_{k_{1} \cdots k_{n}}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}} \cdots x_{n}^{k_{n}}, \] 则或有 \(f(x) = 0 \ (x \in B(0, r))\), 或是 \(m(f^{-1}(0) \cap B(0, r)) = 0\).

例 1

设 \(f \in L([0, +\infty))\), \(a > 0\), 则有等式 \[ \int_{0}^{+\infty} \sin ax \, \mathrm{d}x \, \int_{0}^{+\infty} f(y)e^{-xy} \, \mathrm{d}y = a\int_{0}^{+\infty} \frac{f(y) \, \mathrm{d}y}{a^{2} + y^{2}}. \]

证明.

因为 \[ \int_{0}^{+\infty} \sin ax \, e^{-xy} \, \mathrm{d}x = \frac{a}{a^{2} + y^{2}} \quad (x > 0), \] 所以只需阐明原等式积分可交换次序即可.

考察二元可测函数 \(\sin ax \, f(y)e^{-xy}\). 它不是非负的, 从而要研究它的可积性. 为此, 取其绝对值并将 \(x\) 的积分范围限于 \([\delta, X] \colon 0 < \delta < X < +\infty\). 此时有 \[ \int_{\delta}^{X} \int_{0}^{+\infty} |\sin ax \cdot f(y)e^{-xy}| \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y \leq \int_{\delta}^{X} \int_{0}^{+\infty} |f(y)|e^{-xy} \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y \leq (X - \delta)\int_{0}^{+\infty} |f(y)| \, \mathrm{d}y, \] 这说明 \(\sin ax \, f(y)e^{-xy}\) 在 \([\delta, X] \times [0, +\infty)\) 上可积. 于是, 我们有 \[ \int_{\delta}^{X} \sin ax \, \mathrm{d}x \, \int_{0}^{+\infty} f(y)e^{-xy} \, \mathrm{d}y = \int_{0}^{+\infty} f(y) \, \mathrm{d}y \int_{\delta}^{X} \sin ax \, e^{-xy} \, \mathrm{d}x. \]

注意到 (根据积分第二中值定理) \[ \left| \int_{\delta}^{X} e^{-xy}\sin ax \, \mathrm{d}x \right| \leq \frac{2}{a}, \quad 0 < \delta < X < +\infty, \] 由控制收敛定理即得 \[ \begin{align*} \int_{0}^{+\infty} \sin ax \, \mathrm{d}x \, \int_{0}^{+\infty} f(y)e^{-xy} \, \mathrm{d}y &= \lim_{\substack{\delta \to 0 \\ X \to +\infty}} \int_{\delta}^{X} \sin ax \, \mathrm{d}x \, \int_{0}^{+\infty} f(y)e^{-xy} \, \mathrm{d}y \\ &= \lim_{\substack{\delta \to 0 \\ X \to +\infty}} \int_{0}^{+\infty} f(y) \, \mathrm{d}y \int_{\delta}^{X} \sin ax \, e^{-xy} \, \mathrm{d}x \\ &= \int_{0}^{+\infty} f(y) \, \mathrm{d}y \int_{0}^{+\infty} \sin ax \, e^{-xy} \, \mathrm{d}x. \end{align*} \]

Q.E.D.

例 2

\[ \int_{0}^{+\infty} e^{-x^{2}} \, \mathrm{d}x = \frac{\sqrt{ \pi }}{2}. \]

证明. 因为 \(f(x, y) = ye^{-(1 + x^{2})y^{2}}\) 在 \([0, +\infty) \times [0, +\infty)\) 上非负可测, 所以根据 Tonelli 定理可知 \[ \int_{0}^{+\infty} \left( \int_{0}^{+\infty} ye^{-(1 + x^{2})y^{2}} \, \mathrm{d}y \right) \, \mathrm{d}x = \int_{0}^{+\infty} \left( \int_{0}^{+\infty} ye^{-(1 + x^{2})y^{2}} \, \mathrm{d}x \right) \, \mathrm{d}y. \] 易知上式左端为 \(\frac{\pi}{4}\), 而右端为 \[ \left( \int_{0}^{+\infty} e^{-x^{2}} \, \mathrm{d}x \right)\left( \int_{0}^{+\infty} e^{-y^{2}} \, \mathrm{d}y \right) = \left( \int_{0}^{+\infty} e^{-x^{2}} \, \mathrm{d}x \right)^{2}. \] Q.E.D.

例 3

对 \(x \in \mathbb{R}^{n - 1} \ (n > 1)\), \(t \in \mathbb{R}\), 记 \((x, t)\) 为 \[ (x, t) = (x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n - 1}, t) \in \mathbb{R}^{n}. \] 设 \(E\) 是 \(\mathbb{R}^{n - 1}\) 中的可测集, \(h > 0\), 点集 \[ A = \{ (az, ah) : z \in E, \ 0 \leq a \leq 1 \} \] 是以 \(E\) 为底、高为 \(h\) 且顶点为 \(0\) 的锥, 则 \[ m(A) = \frac{h}{n}m(E). \]

证明.

当 \((x, t) \in A\) 时, \(x = az, \ t = ah\), 也就是 \(a = \frac{t}{h}, \ az = \frac{tz}{h}\). 从而当 \(0 \leq t \leq h\) 时, 有 \[ A_{t} \xlongequal{\text{def}} \{ x \in \mathbb{R}^{n - 1} : (x, t) \in A \} = \left\{ \frac{t}{h}z : z \in E \right\}. \] 易知 \(m(A_{t}) = \left( \frac{t}{h} \right)^{n - 1}m(E)\). 由此可得 \[ \begin{align*} m(A) &= \int_{\mathbb{R}^{n}} \chi_{A}(u) \, \mathrm{d}u \\ &= \int_{\mathbb{R}} \mathrm{d}t \, \int_{\mathbb{R}^{n - 1}} \chi_{A}(x, t) \, \mathrm{d}x \\ &= \int_{\mathbb{R}} \mathrm{d}t \, \int_{A_{t}} 1 \, \mathrm{d}x \\ &= \int_{\mathbb{R}} m(A_{t}) \, \mathrm{d}t \\ &= \frac{m(E)}{h^{n - 1}} \int_{0}^{h} t^{n - 1} \, \mathrm{d}t \\ &= \frac{h}{n}m(E). \end{align*} \]

Q.E.D.

例 4

设 \(f(x) \in L((0, a))\), \(g(x) = \int_{x}^{a} \frac{f(t)}{t} \, \mathrm{d}t \ (a > x > 0)\), 试证明 \(g \in L((0, a))\), 且有 \[ \int_{0}^{a} g(x) \, \mathrm{d}x = \int_{0}^{a} f(x) \, \mathrm{d}x. \]

证明.

\[ \begin{align*} \int_{0}^{a} |g(x)| \, \mathrm{d}x &= \int_{0}^{a} \left| \int_{x}^{a} t^{-1}f(t) \, \mathrm{d}t \right| \, \mathrm{d}x \\ &\leq \int_{0}^{a} \int_{x}^{a} \frac{|f(t)|}{t} \, \mathrm{d}t \, \mathrm{d}x \\ &\xlongequal{\text{Tonelli}} \int_{0}^{a} \frac{|f(t)|}{t} \, \int_{x}^{a} \chi_{(x, a)}(t) \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}t \\ &= \int_{0}^{a} \frac{|f(t)|}{t} \, \int_{x}^{a} 1 \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}t \\ &= \int_{0}^{a} |f(t)| \, \mathrm{d}t \\ &< \infty. \end{align*} \] 则 \(g \in L((0, a))\), 且 \[ \int_{0}^{a} g(x) \, \mathrm{d}x = \int_{0}^{a} \int_{x}^{a} f(t)t^{-1} \, \mathrm{d}t \, \mathrm{d}x \xlongequal{\text{Fubini}} \int_{0}^{a} f(t)t^{-1} \int_{0}^{t} 1 \, \mathrm{d}x = \int_{0}^{a} f(t) \, \mathrm{d}t. \]

Q.E.D.

思考: \(\operatorname{BV}([a, b]) + \text{条件 (?)} \iff \operatorname{AC}([a, b])\)

定义 (有界变差函数)

设 \(f(x)\) 是定义在 \([a, b]\) 上的实值函数, 作分划 \(\Delta \colon a = x_{0} < x_{1} < \cdots < x_{n} = b\) 以及相应的和 \[ v_{\Delta} = \sum_{i=1}^{n} |f(x_{i}) - f(x_{i - 1})|, \] 称之为 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上的变差; 作 \[ \bigvee_{a}^{b} (f) = \sup\{ v_{\Delta} : \Delta \text{ 为 } [a, b] \text{ 的任一分划} \}, \] 并称它为\(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上的 全变差. 若 \[ \bigvee_{a}^{b} (f) < +\infty, \] 则称 \(f(x)\) 是 \([a, b]\) 上的 有界变差函数 (即全体变差形成的有界数集), 其全体记为 \(\operatorname{BV}([a, b])\).

定义 (绝对连续函数)

设 \(f(x)\) 是 \([a, b]\) 上的实值函数. 若对任给 \(\varepsilon > 0\), 存在 \(\delta > 0\), 使得当 \([a, b]\) 中任意有限个互不相交的开区间 \((x_{i}, y_{i}) \ (i = 1, 2, \cdots, n)\) 满足 \(\sum_{i=1}^{n} (y_{i} - x_{i}) < \delta\) 时, 有 \[ \sum_{k=1}^{n} |f(y_{i}) - f(x_{i})| < \varepsilon, \] 则称 \(f(x)\) 是 \([a, b]\) 上的 绝对连续函数, 其全体记为 \(\operatorname{AC}([a, b])\).

定理

若 \(f(x)\) 是 \([a, b]\) 上的绝对连续函数, 则 \(f(x)\) 是 \([a, b]\) 上的有界变差函数.

证明.

在函数绝对连续的定义中, 取 \(\varepsilon > 1\), 可知存在 \(\delta > 0\), 当 \([a, b]\) 中任意有限个互不相交的开区间 \((x_{i}, y_{i}) \ (i = 1, 2, \cdots, n)\) 满足 \[ \sum_{i=1}^{n} (y_{i} - x_{i}) < \delta \] 时, 必有 \[ \sum_{i=1}^{n} |f(y_{i}) - f(x_{i})| < 1. \] 作分划 \(\Delta \colon a = c_{0} < c_{1} < \cdots < c_{n} = b\), 使得 \[ c_{k + 1} - c_{k} < \delta, \quad k = 0, 1, \cdots, n - 1, \] 从而有 \[ \bigvee_{c_{k}}^{c_{k + 1}} (f) \leq 1, \quad k = 0, 1, \cdots, n - 1, \] 故得 \[ \bigvee_{a}^{b} (f) \leq n. \]

Q.E.D.

例 1

设 \(f \in C([a, b]) \cap \operatorname{BV}([a, b])\). 若对 \([a, b]\) 中的任一零测集 \(Z\), 必有 \(m(f(Z)) = 0\), 则 \(f \in \operatorname{AC}([a, b])\).

证明.

用反证法. 假定 \(f \not\in \operatorname{AC}([a, b])\), 则存在 \(\varepsilon_{0} > 0\), 使得对每个 \(n \in \mathbb{N}\), 都有 \([a, b]\) 的子区间组 \[ I_{n, k} = [a_{n, k}, b_{n, k}] \ (k = 1, 2, \cdots, j_{n}), \quad \sum_{k=1}^{j_{n}} (b_{n, k} - a_{n, k}) \leq \frac{1}{2^{n}}, \] \[ \sum_{k=1}^{j_{n}} |f(b_{n, k} - f(a_{n, k}))| \geq \varepsilon_{0}. \]

作点集 \(E = \bigcup_{n=i}^{\infty}\bigcup_{k=1}^{j_{n}} I_{n, k} \ (i \in \mathbb{N})\), 我们有 \[ m(E_{i}) \leq \sum_{n=i}^{\infty} \sum_{k=1}^{j_{n}} (b_{n, k} - a_{n, k}) \leq \sum_{n=i}^{\infty} \frac{1}{2^{n}} = \frac{1}{2^{i - 1}}. \] 由此可知 \(m(E_{i}) \to 0 \ (i \to \infty)\). 因为 \(f \in C([a, b])\), 所以 \(f(E_{i})\) 是紧区间的并集. 又由 \([a, b] \supset E_{i} \supset E_{i + 1} \supset \cdots\) 可得 \[ m(E) = 0 \ \left( E = \bigcap_{i=1}^{\infty} E_{i} \right), \quad m(f(E)) = 0, \] 从而依据 \(f([a, b]) \supset f(E_{i}) \supset f(E_{i + 1}) \supset \cdots\), 又有 \[ \lim_{ i \to \infty } m(f(E_{i})) = m(f(E)) = 0. \]

另一方面, 若 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上递增, 易知 \[ f(I_{i, k}) = [f(a_{i, k}), f(b_{i, k})], \quad m(f(E_{i})) \geq \sum_{k=1}^{j_{i}} |f(b_{i, k}) - f(a_{i, k})| \geq \varepsilon_{0}. \] 矛盾. 证毕.

Q.E.D.

例 2

设 \[ V(x) = \bigvee_{a}^{x} (f) \] 是 \(f\) 在 \([a, x]\) 上的全变差函数, 则有 \[ f \in \operatorname{AC}([a, b]) \iff f \in \operatorname{BV}([a, b]) \text{ 且 } V(x) \in \operatorname{AC}([a, b]). \]

证明.

充分性: 任给 \(\varepsilon\), 则存在 \(\delta\). 取任意有限个互不相交的开区间 \((a_{i}, b_{i})\) 满足 \(\sum_{i=1}^{n} (b_{i} - a_{i}) < \delta\), 则有 \[ \sum_{i=1}^{n} |V(b_{i}) - V(a_{i})| < \varepsilon. \] 又有 \[ |V(b_{i}) - V(a_{i})| = \bigvee_{a_{i}}^{b_{i}} (f) \geq |f(b_{i}) - f(a_{i})|. \] 故 \[ \sum_{i=1}^{n} |f(b_{i}) - f(a_{i})| \leq \sum_{i=1}^{n} |V(b_{i}) - V(a_{i})| < \varepsilon. \] 即 \(f \in \operatorname{AC}([a, b])\).

必要性: 任给 \(\varepsilon > 0\), 则存在 \(\delta\). 取任意有限个互不相交的开区间 \((a_{i}, b_{i})\) 满足 \(\sum_{i=1}^{n} (b_{i} - a_{i}) < \delta\). 对每个 \(k\), 由全变差的定义, 对任意 \(\eta > 0\), 存在划分 \(a_{i} = t_{i, 0} < t_{i, 1} < \cdots < t_{i, m_{i}} = b_{i}\) 使得 \[ \sum_{j=1}^{m_{i}} |f(t_{i, j}) - f(t_{i, j - 1})| \geq V(b_{i}) - V(a_{i}) - \frac{\eta}{2^{i}}. \] 考虑所有小区间 \((t_{i, j - 1} t_{i, j})\). 它们互不相交, 且总长度小于 \(\delta\). 由绝对连续性得 \[ \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m_{i}} |f(t_{i, j}) - f(t_{i, j - 1})| < \varepsilon. \] 于是 \[ \sum_{i=1}^{n} (V(b_{i}) - V(a_{i})) < \varepsilon + \eta. \] 由 \(\eta\) 任意性知 \(\sum_{i=1}^{n} (V(b_{i}) - V(a_{i})) \leq \varepsilon\). 故 \(V \in \operatorname{AC}([a, b])\).

Q.E.D.

例 3

\[ f \in \operatorname{AC}([a, b]) \iff f \in \operatorname{BV}([a, b]) \text{ 且 } f(x) = f(a) + \int_{a}^{x} f'(t) \, \mathrm{d}t. \]

证明.

必要性显然, 下证充分性. 由于 \(f \in \operatorname{BV}\), 有 \(f' \in L([a, b])\). 令 \[ g(x) = f(a) + \int_{a}^{x} f'(t) \, \mathrm{d}t. \] 因为 \(f' \in L([a, b])\), 所以 \(g \in \operatorname{AC}([a, b])\). 而题设给出 \(f(x) = g(x), \ x \in [a, b]\), 所以 \(f \in \operatorname{AC}([a, b])\).

Q.E.D.

例 4

若 \(f\) 单调递增, 则 \(f \in \operatorname{BV}\) 自然成立. 这时有 \[ f \in \operatorname{AC}([a, b]) \iff f(b) - f(a) = \int_{b}^{a} f'(x) \, \mathrm{d}x. \]

证明.

必要性显然, 下证充分性. 定义 \[ G(x) = f(x) - f(a) - \int_{x}^{a} f'(t) \, \mathrm{d}t. \] 由于单调函数几乎处处可导, 且 \(f'(t) \geq 0, \ \text{a.e.}\), 故对任意 \(a \leq s < t \leq b\), 单调函数满足 \[ f(t) - f(s) \geq \int_{s}^{t} f'(u) \, \mathrm{d}u. \] 因此 \[ G(t) - G(s) = f(t) - f(s) - \int_{s}^{t} f'(u) \, \mathrm{d}u \geq 0. \] 所以 \(G\) 单调递增. 又 \(G(a) = 0\), 且由题设 \(G(b) = f(b) - f(a) - \int_{a}^{b} f'(t) \, \mathrm{d}t = 0\), 因此 \(G(x) \equiv 0\). 于是对任意 \(x \in [a, b]\), 有 \[ f(x) = f(a) + f(a) + \int_{x}^{a} f'(t) \, \mathrm{d}t. \] 右边是绝对连续函数, 故 \(f \in \operatorname{AC}([a, b])\).

Q.E.D.

例 5

\[ f \in \operatorname{AC}([a, b]) \iff f \in \operatorname{BV}([a, b]) \text{ 且 } \bigvee_{a}^{b} (f) = \int_{a}^{b} |f'(x)| \, \mathrm{d}x . \]

证明.

必要性: 有 \(f \in \operatorname{AC}([a, b])\), 则 \(V(x) = \bigvee_{a}^{x} (f) \in \operatorname{AC}([a, b])\). 又必有 \(f \in \operatorname{BV}([a, b])\), 则有 \(V'(x) = |f'(x)|, \ \text{a.e. } x \in [a, b]\). 故对绝对连续函数, 有微积分基本定理: \[ \int_{a}^{b} |f'(x)| \, \mathrm{d}x = \int_{a}^{b} V'(x) \, \mathrm{d}x = V(b) - V(a) = \bigvee_{a}^{b} (f). \]

充分性: 令 \(V(x) = \bigvee_{a}^{x} (f)\), 则 \(V(x)\) 是单调递增函数, 且 \(V(x) \in \operatorname{BV}([a, b])\). 由 BV 函数的性质, 对几乎处处的 \(x\), 有 \(V'(x) = |f'(x)|, \ \text{a.e. } x \in [a, b]\), 则有 \[ \int_{a}^{b} V'(x) \, \mathrm{d}x = \int_{a}^{b} |f'(x)| \, \mathrm{d}x = \bigvee_{a}^{b} (f) = V(b) - V(a). \] 又 \(V(x)\) 单调递增, 故 \(V \in \operatorname{AC}[(a, b)]\). 则对任意区间 \((x, y)\), 显然有 \[ |f(y) - f(x)| \leq \bigvee_{x}^{y} (f) = V(y) - V(x) = |V(y) - V(x)|. \] 又 \(V(x)\) 绝对连续, 故对任意 \(\varepsilon > 0\), 存在 \(\delta > 0\), 使得对于互不相交的区间满足 \(\sum_{i=1}^{n} (b_{i} - a_{i}) < \delta\) 时, 有 \(\sum_{i=1}^{n} |V(b_{i}) - V(a_{i})| < \varepsilon\). 则对同一组区间, 自然有 \[ \sum_{i=1}^{n} |f(b_{i}) - f(a_{i})| \leq \sum_{i=1}^{n} |V(b_{i}) - V(a_{i})| < \varepsilon \] 故有 \(f \in \operatorname{AC}([a, b])\).

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例 6

若 \(f \in \operatorname{BV}([a, b])\), 则可作 Jordan 分解 \(f = g - h\), 其中 \(g, h\) 单调递增. 则有 \[ f \in \operatorname{AC}([a, b]) \iff \text{某个 Jordan 分解 } f = g - h \text{ 中 } g, h \in \operatorname{AC}([a, b]). \]

证明.

充分性显然, 下证必要性. 取标准 Jordan 分解: \[ V(x) = \bigvee_{a}^{x} (f), \quad g(x) = \frac{V(x) + f(x)}{2}, \quad h(x) = \frac{V(x) - f(x)}{2}. \] 则 \(f = g - h\). 又有 \(f \in \operatorname{AC}([a, b])\), 则有 \(V(x) \in \operatorname{AC}([a, b])\), 于是 \(g, h\) 都是绝对连续函数. 又 \(g, h\) 是标准 Jordan 分解中的单调递增函数, 所以该分解满足 \(g, h \in \operatorname{AC}([a, b])\).

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