「数学分析」如何快速计算三角函数相关的积分

数分课上听到的一个技巧, 终于不用记公式了 QWQ

一般来说计算三角函数相关积分涉及变量替换, 分部积分等手段, 技巧性较强. 在此有一种较为简便计算三角函数相关积分 (尤其与指数相关) 的方法. 其核心为下列公式. \[e^{ix} = \cos x + i\sin x.\]

例: 计算 \[\int_{0}^{+\infty} e^{-\alpha x}\sin x \, \mathrm{d}x.\]

设 \(f(x) = u(x) + iv(x)\), 其中 \(u, v\) 是 \([a, b]\) 上的实值函数. 故可定义 \[\int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x = \int_{a}^{b} u(x) \, \mathrm{d}x + i\int_{a}^{b} v(x) \, \mathrm{d}x.\] 可以验证该积分满足定积分相关性质. 考虑到 \(\sin x = \mathrm{Im} \, e^{ix}\) (其中 \(\mathrm{Im}\) 表示虚部), 则有 \[ \begin{align*} \int_{0}^{+\infty} e^{-\alpha x}\sin x \, \mathrm{d}x &= \mathrm{Im} \, \int_{0}^{+\infty} e^{-\alpha x}e^{ix} \, \mathrm{d}x \\ &= \mathrm{Im} \, \int_{0}^{+\infty} e^{(-\alpha + i)x} \, \mathrm{d}x \\ &= \mathrm{Im}\left( \frac{e^{(-\alpha + i)x}}{-\alpha + i} \Bigg|_{0}^{+\infty} \right). \end{align*} \] 对于计算积分上限, 考虑复数的模长 \(|e^{(-\alpha + i)x}| = e^{-\alpha x} \to 0 \ (x \to +\infty)\), 则有 \(e^{(-\alpha + i)x} \to 0 \ (x \to +\infty)\). 故 \[ \int_{0}^{+\infty} e^{-\alpha x}\sin x \, \mathrm{d}x = \mathrm{Im} \, \frac{1}{\alpha - i} = \mathrm{Im} \, \frac{\alpha + i}{|\alpha - i|^{2}} = \frac{1}{\alpha^{2} + 1}. \]