前缀和学习笔记

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概念

前缀和为一种预处理，可理解为数列前 \(n\) 项的和。可降低查询某些信息的所需时间。

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// 前缀和示例
int sum[MAXN];
sum[0] = a[0];
for (int i = 1; i < n; i++) {
    sum[i] = sum[i - 1] + a[i];
}

STL 中的前缀和

C++ 标准库中提供了 std::partial_sum 前缀和函数，定义于头文件 <numeric> 中

用法为 partial_sum(InputIt first, InputIt last, OutputIt d_first)

  • first 和 last 表示要求和的元素范围；

  • d_first 表示目标范围起始；可以等于 first。

例题

洛谷 P3131 [USACO16JAN]Subsequences Summing to Sevens S

本题直接处理前缀和存储余数，在前缀和中取头尾两余数相等的数坐标相减即可。

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#include <iostream>
#include <cstring>

const int MAXN = 50000;

int main() {
    int n, maxn = 0;
    static int a[MAXN + 1];
    std::cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        std::cin >> a[i];
    }

    static int sum[MAXN + 1];
    sum[1] = a[1] % 7;
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        sum[i] = (sum[i - 1] + a[i]) % 7;
    }
    static int first[7], last[7];
    memset(first, 0, sizeof(first));
    memset(last, 0, sizeof(last));
    for (int i = 0; i < 7; i++)
        for (int j = 1; j <= n; j++)
            if (sum[j] == i) {
                first[i] = j;
                break;
            }
    for (int i = 0; i < 7; i++)
        for (int j = n; j >= 1; j--)
            if (sum[j] == i) {
                last[i] = j;
                break;
            }
    maxn = last[0];
    for (int i = 0; i < 7; i++) {
        if (last[i] - first[i] > maxn) {
            maxn = last[i] - first[i];
        }
    }

    std::cout << maxn << std::endl;
    return 0;
}

二维/多维前缀和

RT

例题

洛谷 P1387 最大正方形

本题可通过前缀和处理矩形，利用 sum 数组存储可组成正方形的最大值。

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#include <iostream>
#include <cstring>

const int MAXN = 100;

int main() {
    int n, m;
    static int squ[MAXN + 1][MAXN + 1];

    std::cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            std::cin >> squ[i][j];
        }
    }

    int ans = 0;
    static int sum[MAXN + 1][MAXN + 1];
    memset(sum, 0, sizeof(sum));
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            if (squ[i][j] == 1) {
                sum[i][j] = std::min(std::min(sum[i - 1][j] , sum[i][j - 1]), sum[i - 1][j - 1]) + 1;
                if (sum[i][j] > ans) {
                    ans = sum[i][j];
                }
            }
        }
    }

    std::cout << ans << std::endl;
    return 0;
}