题意描述

洛谷链接

根据宪法，Byteland 民主共和国的公众和平委员会应该在国会中通过立法程序来创立。 不幸的是，由于某些党派代表之间的不和睦而使得这件事存在障碍。 此委员会必须满足下列条件：

• 每个党派都在委员会中恰有 \(1\) 个代表。
• 如果 \(2\) 个代表彼此厌恶，则他们不能都属于委员会。

每个党在议会中有 \(2\) 个代表。代表从 \(1\) 编号到 \(2n\)。 编号为 \(2i-1\) 和 \(2i\) 的代表属于第 \(i\) 个党派。

任务：写一程序读入党派的数量和关系不友好的代表对，计算决定建立和平委员会是否可能，若行，则列出委员会的成员表。

对于 \(100\%\) 的数据，\(1 \leq n \leq 8000\)，\(0 \leq m \leq 20000\)，\(1 \leq a < b \leq 8000\)。

题意描述

洛谷链接

小 C 最近学了很多最小生成树的算法，Prim 算法、Kruskal 算法、消圈算法等等。正当小 C 洋洋得意之时，小 P 又来泼小 C 冷水了。小 P 说，让小 C 求出一个无向图的次小生成树，而且这个次小生成树还得是严格次小的，也就是说：如果最小生成树选择的边集是 \(E_M\)，严格次小生成树选择的边集是 \(E_S\)，那么需要满足：(\(value(e)\) 表示边 \(e\) 的权值) \(\sum_{e \in E_M}value(e)<\sum_{e \in E_S}value(e)\)

这下小 C 蒙了，他找到了你，希望你帮他解决这个问题。

对于 \(100\%\) 的数据， \(N\le 10^5\)，\(M\le 3\times10^5\)，边权 \(\in [0,10^9]\)，数据保证必定存在严格次小生成树。

题意描述

洛谷链接

首先村落里的一共有 \(n\) 座房屋，并形成一个树状结构。然后救济粮分 \(m\) 次发放，每次选择两个房屋 \((x,~y)\)，然后对于 \(x\) 到 \(y\) 的路径上(含 \(x\) 和 \(y\))每座房子里发放一袋 \(z\) 类型的救济粮。

然后深绘里想知道，当所有的救济粮发放完毕后，每座房子里存放的最多的是哪种救济粮。

对于 \(100\%\) 测试数据，保证 \(1 \leq n, m \leq 10^5\)，\(1 \leq a,b,x,y \leq n\)，\(1 \leq z \leq 10^5\)。

题意描述

洛谷链接

LibreOJ 链接

对于一个序列，定义其众数为序列中出现次数严格大于一半的数字。注意该定义与一般的定义有出入，在本题中请以题面中给出的定义为准。

一开始给定 \(n\) 个长度不一的正整数序列，编号为 \(1 \sim n\)，初始序列可以为空。这 \(n\) 个序列被视为存在，其他编号对应的序列视为不存在。

有 \(q\) 次操作，操作有以下类型:

• \(1 \ x \ y\)：在 \(x\) 号序列末尾插入数字 \(y\)。保证 \(x\) 号序列存在，且 \(1 \le x, y \le n + q\)。
• \(2 \ x\)：删除 \(x\) 号序列末尾的数字，保证 \(x\) 号序列存在、非空，且 \(1 \le x \le n + q\)。
• \(3 \ m \ x_1 \ x_2 \ x_m\)：将 \(x_1, x_2, \ldots, x_m\) 号序列顺次拼接，得到一个新序列，并询问其众数。如果不存在满足上述条件的数，则返回 \(-1\)。数据保证对于任意 \(1 \le i \le m\)，\(x_i\) 是一个仍然存在的序列，\(1 \le x_i \le n + q\)，且拼接得到的序列非空。注意：不保证 \(\boldsymbol{x_1, \ldots, x_m}\) 互不相同，询问中的合并操作不会对后续操作产生影响。
• \(4 \ x_1 \ x_2 \ x_3\)：新建一个编号为 \(x_3\) 的序列，其为 \(x_1\) 号序列后顺次添加 \(x_2\) 号序列中数字得到的结果，然后删除 \(x_1, x_2\) 对应的序列。此时序列 \(x_3\) 视为存在，而序列 \(x_1, x_2\) 被视为不存在，在后续操作中也不会被再次使用。保证 \(1 \le x_1, x_2, x_3 \le n + q\)、\(x_1 \ne x_2\)、序列 \(x_1, x_2\) 在操作前存在、且在操作前没有序列使用过编号 \(x_3\)。

假定 \(C_l = \sum l_i\) 代表输入序列长度之和，\(C_m = \sum m\) 代表所有操作 \(3\) 需要拼接的序列个数之和；对于所有测试数据，保证 \(1 \le n, q, C_m, C_l \le 5 \times {10}^5\)。

题意描述

洛谷链接

LibreOJ 链接

设 \(d(x)\) 为 \(x\) 的约数个数，给定 \(n, m\)，求

\[ \sum_{i = 1}^n\sum_{j = 1}^m d(ij) \]

对于所有的数据，\(1 \leq N, M \leq 50000,\ 1 \leq T \leq 50000\)。

题意描述

洛谷链接

给定 \(N, M\)，求 \(1 \leq x \leq N\)，\(1 \leq y \leq M\) 且 \(\gcd(x, y)\) 为质数的 \((x, y)\) 有多少对。

数据范围：\(T = 10^4\)，\(N, M \leq 10^7\)。

题意描述

洛谷链接

对于给出的 \(n\) 个询问，每次求有多少个数对 \((x,y)\)，满足 \(a \le x \le b\)，\(c \le y \le d\)，且 \(\gcd(x,y) = k\)，\(\gcd(x,y)\) 函数为 \(x\) 和 \(y\) 的最大公约数。

对于 \(100\%\) 的数据满足：\(1 \le n,k \le 5 \times 10^4\)，\(1 \le a \le b \le 5 \times 10^4\)，\(1 \le c \le d \le 5 \times 10^4\)。

莫比乌斯函数

了解莫比乌斯反演前，我们先要了解莫比乌斯函数。记 \(\mu(n)\) 为莫比乌斯函数，\(n\) 可被分解质因数为 \(n = \prod_{i = 1}^{m}{ {p_i}^{c_i} }\) 定义如下：

\[ \mu(n) = \begin{cases} 1 & n = 1 \\ 0 & \exists i \in [1, m], c_i > 1 \\ (-1)^m & \forall i \in [1, m], c_i = 1 \\ \end{cases} \]

形式化地解释一下：

• 当 \(n = 1\) 时，\(\mu(n) = 1\)；
• 当 \(n\) 存在至少一个出现次数大于等于两次的质因子时，\(\mu(n) = 0\)；
• 当 \(n\) 的所有质因子仅出现过一次，且 \(n\) 有奇数个质因子时，\(\mu(n) = -1\)；
• 当 \(n\) 的所有质因子仅出现过一次，且 \(n\) 有偶数个质因子时，\(\mu(n) = 1\)。

题意描述

洛谷链接

有一次，HKE 和 LJC 在玩一个游戏。

游戏的规则是这样的：LJC 在纸上写下两个长度均为 \(n\) 的数列 \(a\) 和 \(b\)，两个数列一一对应。HKE 每次可以找两个相邻的数 \(a_i\) 和 \(a_{i + 1}\)，如果它们两个不互质，HKE 可以选择得到 \((b_i + b_{i + 1})\) 分，然后擦掉 \(a\) 和 \(b\) 位置上的第 \(i, i + 1\) 个数，并把两个序列重新按顺序编号。当所有相邻的数互质时，游戏结束。

HKE 想知道他最大得分是多少。

题意描述

洛谷链接

LibreOJ 链接

小豆现在有一个数 \(x\) ，初始值为 \(1\) 。 小豆有 \(Q\) 次操作，操作有两种类型:

• 1 m： \(x = x \times m\) ，输出 \(x \bmod M\) ；

• 2 pos： \(x = x /\) 第 \(pos\) 次操作所乘的数（保证第 \(pos\) 次操作一定为类型 1，对于每一个类型 1 的操作至多会被除一次），输出 \(x\bmod M\) 。