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在 \(N \times N\) 的棋盘里面放 \(K\) 个国王，使他们互不攻击，共有多少种摆放方案。国王能攻击到它上下左右，以及左上左下右上右下八个方向上附近的各一个格子，共 \(8\) 个格子。

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求关于 \(x\) 的同余方程 \(ax \equiv 1 \pmod {b}\) 的最小正整数解。

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墨墨突然对等式很感兴趣，他正在研究 \(\sum_{i = 1}^n a_i x_i = b\) 存在非负整数解的条件，他要求你编写一个程序，给定 \(n, a_{1 \dots n}, l, r\) 求出有多少 \(b \in [l, r]\) 可以使等式存在非负整数解。

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给你两个可重集 \(A, B\)，\(A, B\) 的元素个数都为 \(n\)，它们中每个元素的大小 \(x\in [1,n]\)。请你分别找出 \(A, B\) 的子集，使得它们中的元素之和相等。

数据范围：\(1 \leq n \leq 10^6\)

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给定一个长度为 \(n\) 的序列 \(a_{1 \cdots n}\)，求它满足 \(\forall i \in \left[ 1, n \right) , b_i \& b_{i + 1} \neq 0\) 的子序列 \(b\) 的最大长度，其中 \(\&\) 是按位与操作。

数据范围：\(1 \leq n \leq 1 \times 10^5\)，\(1 \leq a_i \leq 10^9\)

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在一个 \(2\) 维平面上有两条传送带，每一条传送带可以看成是一条线段。两条传送带分别为线段 \(\text{AB}\) 和线段 \(\text{CD}\)。lxhgww 在 \(\text{AB}\) 上的移动速度为 \(P\)，在 \(CD\) 上的移动速度为 \(Q\)，在平面上的移动速度 \(R\)。现在 lxhgww 想从 \(\text A\) 点走到 \(\text D\) 点，他想知道最少需要走多长时间。

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给定一个数 \(n\)，求斐波那契数列第 \(n\) 项的后四位。

数据范围：\(1 \leq n \leq 10^9\)

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对于任何正整数 \(x\)，其约数的个数记作 \(g(x)\)。例如 \(g(1) = 1\)，\(g(6) = 4\)。

如果某个正整数 \(x\) 满足：\(\forall 0 < i < x\)，都有 \(g(x) < g(i)\)，则称 \(x\) 为反质数。例如，整数 \(1, 2, 4, 6\) 等都是反质数。

现在给定一个数 \(N\)，你能求出不超过 \(N\) 的最大的反质数么？

数据范围：\(1 \leq N \leq 2 \times 10^9\)

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给定一个长度为 \(N\) 的序列 \(A\)，要求构造一个长度为 \(N\) 的序列 \(B\)。\(B\) 满足以下条件：

1. \(B\) 非严格单调（单调递增或单调递减都可），

2. 在满足 \(1\) 的条件下，使 \(S = \sum_{i = 1}^{N} | A_i - B_i |\)。

仅需求出最小值 \(S\) 即可。题目数据满足 \(1 \leq N \leq 2000\)。

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给定一个 \(n\) 个点 \(m\) 条边的无向图，每条边上都涂有 \(1\) 种颜色。求点 \(1\) 到点 \(n\) 的一条路径，使得经过的边数最少，在此前提下，经过边的颜色序列最小。可能有自环与重边。输入保证至少存在一条连接 \(1\) 和 \(n\) 的道路。