「XJTU 高等代数与几何II-1」2024 年半期考试试题及解答

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考试信息

考试范围：向量代数，空间中的点、线、面，行列式，线性方程组，矩阵（仅包含矩阵运算、逆矩阵、矩阵的秩）

考试时长：2h

满分：100 分

考试试题

注意: 只能用课内讲过的知识解题! 并且解题步骤要完整!

  1. (15 分) 计算下述行列式:
    1. \(\begin{vmatrix} 5 & 6 & 7 & 8 \\ 6 & 7 & 8 & 5 \\ 7 & 8 & 5 & 6 \\ 8 & 5 & 6 & 7 \end{vmatrix}\),
    2. \(\begin{vmatrix} n + 1 & n + 2 & \cdots & 2n - 1 & 2n \\ n + 2 & n + 3 & \cdots & 2n & n + 1 \\ n + 3 & n + 4 & \cdots & n + 1 & n + 2 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 2n & n + 1 & \cdots & 2n - 2 & 2n - 1 \end{vmatrix} (n \ge 5)\).
  2. (10 分) 求经过直线 \(\frac{x - 2}{3} = \frac{y - 5}{2} = \frac{z}{4}\), 并且与 \(x + 2y + 5z - 3 = 0\) 垂直的平面 \(\pi\) 的方程.
  3. (20 分) 设 \(a \in \mathbb{R}\). 给定直线 \[L_1 \colon \frac{x}{2} = \frac{y + 2}{-2} = \frac{z - 1}{-1}\] 与直线 \[L_2 \colon \frac{x - 1}{4} = \frac{y - 3}{2} = \frac{z}{a}\]
    1. 求参数 \(a\) 的值, 使得 \(L_1\) 和 \(L_2\) 共面.
    2. 当 \(a = -1\) 时, 求两个异面直线 \(L_1\) 和 \(L_2\) 的公垂线的方程以及它们之间的距离.
  4. (20 分) 讨论 \(a\) 取什么值时, 方程组 \[\begin{cases} x_1 + (a^2 + 1)x_2 + 2x_3 = a \\ ax_1 + ax_2 + (3a - 1)x_3 = 0 \\ x_1 + (2a + 1)x_2 + 2x_3 = 2 \end{cases}\] 无解? 有唯一解? 有无穷多解? 并在方程组有无穷多解时求其通解 (向量形式) 及其导出组的基础解系.
  5. (15 分) 设 \(n\) 阶方阵 \(A\), \(B\) 满足 \(4AB = A + 4B\).
    1. 证明: \(I_n - A\) 可逆, 并求 \((I_n - A)^{-1}\);
    2. 证明: \(AB = BA\);
    3. 证明: 若存在正整数 \(k (k \ge 2)\) 使得 \(A^k = 0\), 则 \(|B + A| = |B|\).
  6. (10 分) 设有 \(n\) 阶方阵 \(A\) 和 \(B\) 满足 \(AB = BA\), 且 \(r(A) = n\), 证明: \[r(A^2) + r(B^2) \ge 2r(AB)\]
  7. (10 分) 设 \(\boldsymbol\alpha = (1, 2, 3)^T\), \(\boldsymbol\beta = (0, 1, 2)^T\), 求集合 \[V = \{ \boldsymbol\gamma \in \mathbb{R}^3 | \text{存在三阶不可逆方阵} A, \text{使得} A\boldsymbol\alpha = \boldsymbol\beta, A\boldsymbol\beta = \boldsymbol\gamma, A\boldsymbol\gamma = \boldsymbol{0} \}\]

试题解答

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