「SDOI2006」线性方程组 - 高斯消元

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题意描述

洛谷链接

已知 \(n\) 元线性一次方程组。

\[ \begin{cases} a_{1, 1} x_1 + a_{1, 2} x_2 + \cdots + a_{1, n} x_n = b_1 \\ a_{2, 1} x_1 + a_{2, 2} x_2 + \cdots + a_{2, n} x_n = b_2 \\ \cdots \\ a_{n,1} x_1 + a_{n, 2} x_2 + \cdots + a_{n, n} x_n = b_n \end{cases} \]

请根据输入的数据，编程输出方程组的解的情况。

解题思路

对于求 \(n\) 元一次方程组，显然需要用高斯消元。但本题需要判断无解或无穷解。对于此类，我们可以在高斯消元后判断第 \(i\) 行第 \(i\) 项是否为 \(0\)。若为 \(0\) 且最后一项不为 \(0\)，无解。在判断有解的前提下，第 \(i\) 行第 \(i\) 项同时为 \(0\) 则有无穷解。

最后注意一下需要调换增广矩阵每一行的位置。对于第 \(i\) 行可将未计算的行中最大的第 \(i\) 项所在行调换。

代码演示

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#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <iostream>

const int MAXN = 100;

int n;
double a[MAXN + 1][MAXN + 2];

inline void swaps(int i, int j) {
    for (int k = 1; k <= n + 1; k++) {
        std::swap(a[i][k], a[j][k]);
    }
}

inline void sorts(int pos) {
    int maxn = pos;
    for (int i = pos + 1; i <= n; i++) {
        if (fabs(a[maxn][pos]) < fabs(a[i][pos])) {
            maxn = i;
        }
    }
    if (pos != maxn) swaps(pos, maxn);
}

inline void gauss() {
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        sorts(i);
        if (a[i][i] == 0) continue;
        for (int j = i + 1; j <= n + 1; j++) a[i][j] /= a[i][i];
        a[i][i] = 1;

        for (int j = i + 1; j <= n; j++) {
            for (int k = i + 1; k <= n + 1; k++) {
                a[j][k] -= a[i][k] * a[j][i] / a[i][i];
            }
            a[j][i] = 1;
        }
    }
}

inline int solve() {
    for (int i = n; i > 1; i--) {
        for (int j = 1; j < i; j++) {
            a[j][n + 1] -= a[i][n + 1] * a[j][i] / a[i][i];
            a[j][i] = 0;
        }
    }

    int op = 1;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        if (a[i][i] == 0 && a[i][n + 1] != 0) op = -1;
        if (a[i][i] == 0 && a[i][n + 1] == 0 && op == 1) op = 0;
    }

    return op;
}

int main() {
    std::cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= n + 1; j++) {
            scanf("%lf", &a[i][j]);
        }
    }

    gauss();

    int op = solve();

    if (op != 1) std::cout << op << std::endl;
    else for (int i = 1; i <= n; i++) printf("x%d=%.2lf\n", i, a[i][n + 1]);

    return 0;
}