「LibreOJ #10243」移棋子游戏 - 图论 + 博弈论 + SG 函数

发表于 分类于 ， 阅读次数： Disqus：

题意描述

LibreOJ 链接

给定一个有 \(n (n \le 2000)\) 个节点的有向无环图，图中某些节点上有棋子，两名玩家交替移动棋子。

玩家每一步可将任意一颗棋子沿一条有向边移动到另一个点，无法移动者输掉游戏。

对于给定的图和棋子初始位置，双方都会采取最优的行动，询问先手必胜还是先手必败。

解题思路

本题就是在一张有向图中有多枚棋子，每次可沿着有向边移动一枚棋子。当无法移动所有棋子时就输了。

于是我们可以使用 SG 函数过掉此题。对于每个点 \(u\)，我们设 \(\operatorname{SG}(u)\) 表示 \(u\) 的 SG 函数值。显然对于没有出度的点 \(t\)，\(\operatorname{SG}(t) = 0\)。

对于点 \(u\) 可一步到达的点的集合 \(E_u\)，我们可以通过 SG 函数的定义求出 \(\operatorname{SG}(u) = \operatorname{mex}(\{t | t = \operatorname{SG}(v), v \in E_u\})\)。

整个游戏的 SG 函数值即为原本拥有棋子的点的 SG 函数值的异或。设拥有棋子的点有 \(k\) 个，且分别位于 \(N_k\)，则整个游戏的 SG 函数值为 \(\operatorname{SG}(G) = \oplus_{i = 1}^k\operatorname{SG}(N_k)\)。最后只需判断 \(\operatorname{SG}(G)\) 是否大于 \(0\) 即可。

代码演示

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
#include <cstdio>
#include <vector>

struct Node {
    std::vector<struct Edge> e;
    int sg;

    Node() : sg(-1) {}
};

struct Edge {
    Node *s, *t;

    Edge(Node *s, Node *t) : s(s), t(t) {}
};

inline void addEdge(Node *s, Node *t) {
    s->e.emplace_back(s, t);
}

int SG(Node *u) {
    if (u->sg != -1) return u->sg;

    std::vector<bool> vis(u->e.size() + 1, false);
    for (auto &[u, v] : u->e) vis[SG(v)] = true;

    u->sg = 0;
    while (vis[u->sg]) u->sg++;

    return u->sg;
}

int main() {
    int n, m, k;
    scanf("%d %d %d", &n, &m, &k);

    std::vector<Node> nodes(n + 1);
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        int x, y;
        scanf("%d %d", &x, &y);
        addEdge(&nodes[x], &nodes[y]);
    }

    int ans = 0;
    for (int i = 1; i <= k; i++) {
        int x;
        scanf("%d", &x);
        ans ^= SG(&nodes[x]);
    }

    puts(ans ? "win" : "lose");

    return 0;
}