「JSOI2008」球形空间产生器 - 高斯消元

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题意描述

洛谷链接

有一个球形空间产生器能够在 \(n\) 维空间中产生一个坚硬的球体。现在，你被困在了这个 \(n\) 维球体中，你只知道球面上 \(n + 1\) 个点的坐标，你需要以最快的速度确定这个 \(n\) 维球体的球心坐标，以便于摧毁这个球形空间产生器。

解题思路

对于本题，我们可以感性感知到这道题是高斯消元。于是我们可以通过距离公式推出下列式子：

\[ \sum_{j = 1}^{n} (a_{i, j} - x_j)^2 = \text{dis} \quad i \in [1, n] \cap \mathbb{Z} \]

其中 \(\text{dis}\) 为常量。

对于该式化简会出现二次项，不好计算，我们需要把二次项化掉，同时化掉 \(\text{dis}\)。

于是我们可以将相邻两项作差，得到下列式子：

\[ \sum_{j = 1}^{n} ( a_{i, j}^2 - a_{i + 1, j}^2 - 2(a_{i, j} - a_{i + 1, j})x_j ) = 0 \quad i \in [1, n] \cap \mathbb{Z} \]

然后移项得到下列式子：

\[ \sum_{j = 1}^{n} 2(a_{i, j} - a_{i + 1})x_j = \sum_{j = 1}^{n} (a_{i, j}^2 - a_{i + 1, j}^2) \quad i \in [1, n] \cap \mathbb{Z} \]

由于 \(a_{i, j}\)，\(n\) 为常量，故 \(x_j\) 可用高斯消元求解，最后得解。

代码演示

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#include <cstdio>
#include <iostream>

const int MAXN = 10;

int n;
double pos[MAXN + 2][MAXN + 1], a[MAXN + 1][MAXN + 2];

void gauss() {
    for (int i = 1; i <= n; i++) {

        for (int j = i + 1; j <= n + 1; j++) a[i][j] /= a[i][i];
        a[i][i] = 1;

        for (int j = i + 1; j <= n; j++) {
            for (int k = i + 1; k <= n + 1; k++) {
                a[j][k] -= a[i][k] * a[j][i] / a[i][i];
            }
            a[j][i] = 1;
        }
    }
}

void solve() {
    for (int i = n; i > 1; i--) {
        for (int j = 1; j < i; j++) {
            a[j][n + 1] -= a[i][n + 1] * a[j][i] / a[i][i];
            a[j][i] = 0;
        }
    }
}

void init() {
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        a[i][n + 1] = 0;
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
            a[i][j] = 2 * (pos[i][j] - pos[i + 1][j]);
            a[i][n + 1] += pos[i][j] * pos[i][j] - pos[i + 1][j] * pos[i + 1][j];
        }
    }
}

int main() {

    std::cin >> n;

    for (int i = 1; i <= n + 1; i++) {
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
            std::cin >> pos[i][j];
        }
    }

    init();

    gauss();

    solve();

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        printf("%.3f ", a[i][n + 1]);
    }
    std::cout << std::endl;

    return 0;
}