「Codeforces 1746D」Paths on the Tree - 贪心

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题意描述

Codeforces 链接

给定一个 \(n\) 个节点的树，其节点被标记为 \(1\) 到 \(n\)，而且该树的根为 \(1\)，另外也给定一个积分序列 \(s\)

如果下列两个条件都满足，则我们称路径集合k可用：

  • 该集合内所有路径从 \(1\) 开始

  • \(c_i\) 为覆盖节点 \(i\) 的路径数量，对于每对拥有同个父节点的节点 \((u,v)\)，要求\(|c_u-c_v|\) 小于等于1

对于每个路径集合，其权值被定义为 \(\sum\limits_{i=1}^n{c_i s_i}\)

显而易见，每组数据至少有一个可用的路径集合，找出所有可用路径集合中的最大权值

解题思路

显然为了让答案最大，每条路径都会走到叶子节点。于是我们可以考虑每条路径对每一层的影响。显然对于度为 \(a\) 的节点 \(u\) 被覆盖 \(k\) 次，每个节点要么被覆盖 \(\lfloor \frac{k}{a} \rfloor\) 次，要么被覆盖 \(\lfloor \frac{k}{a} \rfloor + 1\) 次，且被被覆盖 \(\lfloor \frac{k}{a} \rfloor + 1\) 次的节点有 \(k \bmod a\) 个。于是我们可以先将每个点覆盖 \(\lfloor \frac{k}{a} \rfloor\) 次。接下来再处理被覆盖 \(\lfloor \frac{k}{a} \rfloor + 1\) 次的情况。

处理被覆盖 \(\lfloor \frac{k}{a} \rfloor + 1\) 次的情况时，我们可以从从叶子到根的方向考虑。我们直接进行 DFS 寻找剩余路径。显然对于边 \(u \rightarrow v\)，到达 \(v\) 的路径中只有一条对 \(u\) 有效，为使答案最大，我们取权值最大的一条路径，其余的路径到 \(u\) 就截止了，记录进答案即可。

代码演示

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#include <cstdio>
#include <vector>
#include <queue>

struct Node {
    std::vector<Node *> adj;
    int deg, remain;
    long long s;
    std::priority_queue<long long> q;
};

long long ans = 0;

inline void addEdge(Node *u, Node *v) {
    u->adj.push_back(v);
    u->deg++;
}

void dfs1(Node *u, long long k) {
    if (!u->adj.empty()) {
        int size = u->adj.size();
        ans += k / size * size * u->s;
        for (Node *v : u->adj) dfs1(v, k / size);
        u->remain = k % size;
    } else ans += k * u->s;
}

void dfs2(Node *u) {
    if (u->deg == 0) u->q.push(u->s);
    for (Node *v : u->adj) {
        dfs2(v);
        if (!v->q.empty()) u->q.push(v->q.top() + u->s);
        while (!v->q.empty()) v->q.pop();
    }
    while (u->remain--) {
        ans += u->q.top();
        u->q.pop();
    }
}

void solve() {
    int n, k;
    scanf("%d %d", &n, &k);
    std::vector<Node> nodes(n);
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        int p;
        scanf("%d", &p);
        addEdge(&nodes[--p], &nodes[i]);
    }
    for (int i = 0; i < n; i++) scanf("%lld", &nodes[i].s);

    ans = 0;
    dfs1(&nodes[0], k);
    dfs2(&nodes[0]);

    printf("%lld\n", ans);
}

int main() {
    int t;

    scanf("%d", &t);

    while (t--) solve();

    return 0;
}