「抽象代数」抽代期末复习习题集

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实际上是把往年题中一些不太会的题提取出来, 外加了一道几乎必考的题.

抽代学的实在是太烂了, 构造一点不会, 作业好难, 只能过拟合往年题了 QAQ

论如何在 Markdown 环境中打出右对齐的 \(\square\) 证毕符号?

例 1

\(S_{n}, A_{n} \ (n \geq 5)\) 分别是 \(n\) 元对称群和 \(n\) 元交错群, 证明: \(S_{n}' = A_{n}, \ A_{n}' = A_{n}\), \(S_{n}\) 是否可解?

证明.

设 \(\forall x \in S_{n}'\), 则 \(\exists a, b \in S_{n}\), s.t. \(x = aba^{-1}b^{-1}\). 又有 \(a, a^{-1}\) 奇偶性相同, \(b, b^{-1}\) 奇偶性相同, 则 \(x\) 为偶置换, 有 \(x \in A_{n}\), 即 \(S_{n}' \subseteq A_{n}\).

又设 \(\forall x \in A_{n}\), 有 \(x = x_{1}x_{2} \cdots x_{m}\), 其中 \(x_{i} = (i_{i} \ j_{i} \ k_{i})\). 故取 \(a_{i} = (i_{i} \ k_{i}), \ b_{i} = (i_{i} \ j_{i})\), 有 \(x_{i} = aba^{-1}b^{-1}\), 故有 \(x_{i} \in S_{n}'\), 则 \(x \in S_{n}'\), 即 \(A_{n}' \subseteq S_{n}\). 综上, 有 \(S_{n}' = A_{n}\).

对于 \(A_{n}\), 有 \(A_{n}\) 为单群, 故只存在正规子群 \(A_{n}\) 和 \(\{ e \}\). 又 \(A_{n}\) 非交换, 则 \(A_{n}' \neq \{ e \}\), 故 \(A_{n}' = A_{n}\).

对于 \(S_{n}\), 有 \(S_{n}' = A_{n}\), 故有 \(S_{n} \unrhd A_{n} \unrhd \{ e \}\). 又有 \(A_{n}\) 为单群, \(A_{n} / \{ e \} \cong A_{n}\) 非交换, 故 \(S_{n}\) 不可解.

Q.E.D.

例 2

设 \(p, q\) 是不同的素数, 证明 \(p^{2}q\) 阶群有正规 Sylow 子群.

证明.

设该群为 \(G\). 若 \(p > q\), 由 Sylow 定理知存在 \(p^{2}\) 阶 Sylow \(p\)-子群 \(P\), 且设 Sylow \(p\)-子群的个数为 \(m\), 有 \(m \equiv 1 \pmod p\), 且 \(m \mid q\), 即 \(m = 1\). 故有 \(P \unlhd G\), 满足条件.

若 \(p < q\), 由 Sylow 定理知存在 \(q\) 阶 Sylow \(q\)-子群 \(Q\), 且设 Sylow \(q\)-子群的个数为 \(m\), 有 \(m \equiv 1 \pmod q\), 且 \(m \mid p^{2}\).

若 \(m = 1\), 则 \(Q \unlhd G\), 满足条件.

若 \(m = p^{2}\), 则有 \(p^{2} \equiv 1 \pmod q\). 可知 \(p = 2\) (若 \(q = 2\), 无法满足 \(p < q\)), 故 \(q = 3, \ m = 4, \ |G| = 12\). 又 \(Q\) 是素数阶循环群, 则 \(G\) 中有 \(1\) 个 \(1\) 阶元, 有 \(8\) 个 \(3\) 阶元, 故剩下 \(3\) 个元素. 又由 Sylow 定理知存在 \(4\) 阶 Sylow \(2\)-子群 \(P\). 故对 \(\forall x \in P\), 有 \(|x| = 1, 2, 4\). 故剩下的 \(3\) 个元素和单位元 \(e\) 构成唯一的 Sylow \(2\)-子群 \(P\). 有 \(P \unlhd G\), 满足条件.

Q.E.D.

例 3

设 \(G\) 作用在集合 \(\Omega\) 上, 且 \(G\) 包含一个子群 \(N\), 它在 \(\Omega\) 上的作用传递. 证明: \(G = G_{\alpha}N, \ \forall \alpha \in \Omega\), 其中 \(G_{\alpha}\) 是 \(\alpha\) 的稳定子群.

证明.

显然有 \(G_{\alpha}N \subseteq G\), 故只需证 \(G \subseteq G_{\alpha}N\).

对 \(\forall g \in G\), 令 \(\beta = g^{-1}\alpha \in \Omega\). 由 \(N\) 的传递性知 \(\exists n \in N\), s.t. \(n\beta = \alpha\), 故有 \(ng^{-1}\alpha = \alpha\), 即 \(ng^{-1} \in G_{\alpha}\). 故 \(\exists g_{\alpha} \in G_{\alpha}\), s.t. \(ng^{-1} = g_{\alpha} \implies g = g_{\alpha}^{-1}n\). 又有 \(G_{\alpha}\) 为稳定子群, 故 \(g_{\alpha}^{-1} \in G_{\alpha}\), 有 \(g \in G_{\alpha}N\), 即 \(G \subseteq G_{\alpha}N\).

综上, 有 \(G = G_{\alpha}N\).

Q.E.D.

例 4

设 \(G\) 为一个有限群, \(p\) 为 \(|G|\) 的最小素因子. 证明: 指数为 \(p\) 的子群必为正规子群.

证明.

设指数为 \(p\) 的子群为 \(H\). 对于 \((G / H)_{l} = \{ x_{1}H, \cdots, x_{p}H \}\), 取群的左平移作用 \(g(xH) = (gx)H, \ (\forall g \in H, xH \in (G / H)_{l})\), 有 \(g_{1}(g_{2}(xH)) = (g_{1}g_{2})(xH), \ e(xH) = xH\), 故其为群作用.

该群作用引导出一个群同态 \(\varphi \colon G \to S_{p}\), 其中 \(\varphi(g)(xH) = g(xH)\). 考虑 \(\operatorname{Ker} \varphi\). 对 \(\forall g \in \operatorname{Ker} \varphi\), 有 \(\varphi(g) = (1)\), 即 \(g(xH) = xH, \ \forall x \implies gH = H \implies g \in H\). 则有 \(\operatorname{Ker} \varphi \subseteq H\).

由群同态基本定理知 \(G / \operatorname{Ker} \varphi \cong \operatorname{Im} \varphi\), 故 \(\frac{|G|}{|\operatorname{Ker} \varphi|} \mid p! \implies \frac{p|H|}{|\operatorname{Ker} \varphi|} \mid p! \implies \frac{|H|}{|\operatorname{Ker} \varphi|} \mid (p - 1)!\).

又 \(|H|\) 不含有比 \(p\) 小的因子, 故 \(|\operatorname{Ker} \varphi| = |H|\), 即 \(\operatorname{Ker} \varphi = H\). 故有 \(H \unlhd G\).

Q.E.D.

例 5

设 \(G\) 为 \(2024\) 阶群. 证明: \(G\) 是可解群.

证明.

有 \(2024 = 2^{3} \times 11 \times 23\). 故由 Sylow 定理知存在 \(23\) 阶子群 \(P\), 其个数为 \(m\), 满足 \(m \equiv 1 \pmod{23}\), 且 \(m \mid 2^{3} \times 11\). 故 \(m = 1\), 有 \(P \unlhd G\). 又 \(P\) 为素数阶循环群, 故 \(P \unrhd \{ e \}\), 且 \(P / \{ e \} \cong P\) 交换.

考虑 \(G / P\), 为 \(2^{3} \times 11\) 阶群, 由 Sylow 定理知存在 \(11\) 阶子群 \(Q\), 其个数为 \(n\), 满足 \(n \equiv 1 \pmod{11}\), 且 \(n \mid 2^{3}\), 故 \(n = 1\). 有 \(Q \unlhd (G / P)\). 又 \(Q\) 为素数阶循环群, 故 \(Q \unrhd \{ e \}\), 且 \(Q / \{ e \} \cong Q\) 交换.

考虑 \(R = (G / P) / Q\), 为 \(2^{3}\) 阶群. 其中心 \(Z(R)\) 非平凡, 故 \(|Z(R)| = 2, 4, 8\). 有 \(Z(R) \unlhd R\).

若 \(|Z(R)| = 8\), 则 \(Z(R) = R\), 有 \(R\) 交换, 故 \(Z(R) \unrhd \{ e \}\), 且 \(Z(R) / \{ e \} \cong Z(R)\) 交换.

若 \(|Z(R)| = 4\), 有 \(R / Z(R)\) 为 \(2\) 阶群, 为素数阶循环群, 其交换. 且 \(Z(R)\) 为 \(4\) 阶群, 有 \(Z(R) \cong \mathbb{Z}_{4}\) 或 \(Z(R) \cong \mathbb{Z}_{2} \oplus \mathbb{Z}_{2}\), 即 \(Z(R)\) 交换. 故 \(Z(R) \unrhd \{ e \}\), 且 \(Z(R) / \{ e \} \cong Z(R)\) 交换.

若 \(|Z(R)| = 2\), 有 \(R / Z(R)\) 为 \(4\) 阶群, 其交换. 且 \(Z(R)\) 为 \(2\) 阶群, 为素数阶循环群, 即 \(Z(R)\) 交换. 故 \(Z(R) \unrhd \{ e \}\), 且 \(Z(R) / \{ e \} \cong Z(R)\) 交换. 综上, 总存在次正规子群列满足条件. 故 \(G\) 可解.

Q.E.D.

例 6

证明 \(6\) 阶非交换群只有对称群 \(S_{3}\) (同构意义下).

证明.

设该群为 \(G\). 由 Sylow 定理知其存在 \(3\) 阶子群 \(P\), 其个数为 \(m\), 满足 \(m \equiv 1 \pmod{3}\), 且 \(m \mid 2\). 即 \(m = 1\), 有 \(P \unlhd G\). 其为素数阶循环群, 记 \(P = \langle a \rangle\).

又由 Sylow 定理知其存在 \(2\) 阶子群 \(Q\), 其个数为 \(n\), 满足 \(n \equiv 1 \pmod{2}\), 且 \(n \mid 3\). 即 \(n = 1, 3\). 且 \(Q\) 为素数阶循环群, 记 \(Q = \langle b \rangle\).

若 \(n = 1\), 则有 \(Q \unlhd G\). 又 \(2, 3\) 互素, 故 \(P \cap Q = \{ e \}\). 有 \(|PQ| = \frac{|P| \cdot |Q|}{|P \cap Q|} = 6 = |G|\). 又有 \(PQ \subseteq G\), 则有 \(PQ = G\). 综上, 有 \(G \cong P \times Q \cong \mathbb{Z}_{3} \times \mathbb{Z}_{2} \cong \mathbb{Z}_{6}\), 为循环群, 则为交换群, 舍去.

若 \(n = 3\), 有 \(G / P\) 为 \(2\) 阶群. 又有 \(b \in G \setminus P\), 有 \(G / P = \{ P, cP \}\), 故 \(G\) 可表示为

\[ G = \{ e, a, a^{2}, b, ba, ba^{2} \}. \]

又由 \(P \unlhd G\) 得对 \(\forall g \in G, p \in P\), 有 \(gpg^{-1} \in P\), 故取 \(g = c, \ p = a\), 则 \(\exists s \ (0 \leq s < 3)\), s.t. \(bab^{-1} = a^{s}\). 又有 \(|b| = 2\), 故 \(a = ba^{s}b = (bab^{-1})^{s}\), 则有 \(a = (a^{s})^{s} = a^{s^{2}} \implies a^{s^{2} - 1} = e\).

故有 \(3 \mid (s^{2} - 1)\), 有 \(s = 1, 2\). 若 \(s = 1\), 则有 \(ba = ab\), 故 \(G\) 交换, 有 \(Q \unlhd G\), 与 \(n = 3\) 矛盾.

故 \(s = 2\), 故有 \(bab = a^{2} = a^{-1}\). 故 \(G \cong D_{3}\). 取 \(a = (1 \ 2), \ b = (1 \ 2 \ 3)\), 验证有 \(|a| = 2, \ |b| = 3, \ bab = a^{-1}\), 故 \(S_{3} \cong D_{3} \cong G\), 是唯一的非交换群.

Q.E.D.

例 7

设 \(R\) 是一个环, 且满足任意 \(a \in R\), 均有 \(a^{2} = a\) (布尔环). 证明: \(R\) 必为交换环, 且 \(\forall a \in R, \ a + a = 0\).

证明.

由题, 对 \(\forall a \in R\), 有 \((a + a)^{2} = a + a\), 即

\[2 (a + a)^{2} = a^{2} + a^{2} + a^{2} + a^{2} = a + a + a + a = a + a. \]

则有 \(a + a = 0\). 又对 \(\forall a, b \in R\), 有 \((a + b)^{2} = a + b\), 即

\[ (a + b)^{2} = (a + b)(a + b) = a^{2} + ba + ab + b^{2} = a + ba + ab + b = a + b. \]

则有 \(ba + ab = 0\). 由 \(ba + ba = 0\) 知 \(ba = ab\). 故 \(R\) 为交换环.

Q.E.D.

例 8

设 \(G\) 是一个有限非交换单群, \(p\) 是一个素数, 且 \(p\) 整除 \(|G|\). 证明: \(G\) 的 Sylow \(p\)-子群不止一个.

证明.

设 \(|G| = p^{t}s, \ (p, s) = 1\), 则 Sylow \(p\)-子群 \(P\) 的阶为 \(|P| = p^{t}\). 若 \(P \neq G\), 则由 \(G\) 为单群知 \(P\) 不是 \(G\) 的正规子群. 故由 Sylow 定理知 \(G\) 的 Sylow \(p\)-子群不止一个.

若 \(P = G\), 即 \(|G| = p^{t}\), 则 \(G\) 为 \(p\)-群, 其中心 \(Z(G)\) 非平凡. 又有 \(Z(G) \unlhd G\), 且 \(G\) 为单群, 故 \(Z(G) = G\), 故 \(G\) 交换, 矛盾.

综上, \(G\) 的 Sylow \(p\)-子群不止一个.

Q.E.D.

例 9

设 \(H, K\) 是群 \(G\) 的两个子群. 用 \([K, H]\) 表示由 \(\{ [k, h] = khk^{-1}h^{-1} : k \in K, h \in H \}\) 生成的群, 用 \(\langle K, H \rangle\) 表示由 \(K \cup H\) 生成的群. 证明: \([K, H] \unlhd \langle K, H \rangle\).

证明.

只需证对 \(\forall x \in \langle K, H \rangle, \ k \in K, \ h \in H\), 均有 \(x[k, h]x^{-1} \in [K, H]\). 即只需证对 \(\forall g, k \in K, \ h \in H\), 有 \(g[k, h]g^{-1} \in [K, H]\), 且对 \(\forall k \in K, \ g, h \in H\), 有 \(g[k, h]g^{-1} \in [K, H]\).

对 \(\forall g \in K\), 有

\[ g[k, h]g^{-1} = gkhk^{-1}h^{-1}g^{-1} = (gkhk^{-1}g^{-1})(gh^{-1}g^{-1}). \]

其中 \(gk \in K, \ (gk)^{-1} = k^{-1}g^{-1} \in K\). 令 \(k' = gk\), 有 \(gkhk^{-1}g^{-1} = k'h(k')^{-1}\). 则有

\[ \begin{align*} g[k, h]g^{-1} &= (k'h(k')^{-1})(gh^{-1}g^{-1}) \\ &= (k'h(k')^{-1}h^{-1})(hgh^{-1}g^{-1}) \\ &= [k', h] \cdot [h, g] \\ &= [k', h] \cdot [g, h]^{-1} \\ &\in [K, H]. \end{align*} \]

同理, 对 \(\forall g \in H\), 令 \(h' = gh \in H\), 有

\[ \begin{align*} g[k, h]g^{-1} &= (gkg^{-1})(ghk^{-1}h^{-1}g^{-1}) \\ &= (gkg^{-1})(h'k^{-1}(h')^{-1}) \\ &= (gkg^{-1}k^{-1})(kh'k^{-1}(h')^{-1}) \\ &= [g, k] \cdot [k, h'] \\ &= [k, g]^{-1} \cdot [k, h'] \\ &\in [K, H]. \end{align*} \]

综上, 由 \(\forall x \in \langle K, H \rangle\), 均有 \(x = x_{1} \cdots x_{s} \ (\forall x_{i} \in K \cup H, \ 1 \leq i \leq s)\), 且对 \(\forall y \in [K, H]\), 均有 \(y = [k_{1}, h_{1}] \cdot [k_{2}, h_{2}] \cdots [k_{t}, h_{t}] \ (\forall k_{i} \in K, h_{i} \in H, \ 1 \leq i \leq t)\). 结合上述讨论可知 \([K, H] \unlhd \langle K, H \rangle\).

Q.E.D.

例 10

\(385\) 阶 \(G\) 群有一个指数为 \(5\) 的子群 \(H\), 证明 \(H \unlhd G\).

证明.

有 \(385 = 5 \times 7 \times 11\), 故 \(|H| = 77\). 考虑 \((G / H)_{l} = \{ x_{1}H, \cdots, x_{5}H \}\), 共有 \(5\) 个元素.

考虑左平移作用 \(g(xH) = (gx)H \ (\forall g \in G, xH \in (G / H)_{l})\), 有 \(g_{1}(g_{2}(xH)) = (g_{1}g_{2})(xH), \ e(xH) = xH\), 故其为群作用.

该群作用引导出一个群同态 \(\varphi \colon G \to S_{5}\), 其中 \(\varphi(g)(xH) = g(xH)\). 考虑 \(\operatorname{Ker} \varphi\). 对 \(\forall g \in \operatorname{Ker} \varphi\), 有 \(\varphi(g) = (1)\), 即 \(g(xH) = xH, \ \forall x \implies gH = H \implies g \in H\). 则有 \(\operatorname{Ker} \varphi \subseteq H\).

由群同态定理知 \(G / \operatorname{Ker} \varphi \cong \operatorname{Im} \varphi\), 故有 \(\frac{385}{|\operatorname{Ker} \varphi|} \mid 120\), 有 \(|\operatorname{Ker} \varphi| = 77, 120\). 又有 \(\operatorname{Ker} \varphi \subseteq H\), 故有 \(|\operatorname{Ker} \varphi| = 77\), 即 \(\operatorname{Ker} \varphi = H\), 故有 \(H \unlhd G\).

Q.E.D.

例 11 (每年都考这一块)

设 \(G\) 为 \(2026\) 阶群. 1. \(G\) 是单群吗? 2. \(G\) 是可解群吗? 3. 如果 \(G\) 可交换, 求其所有同构类型.

证明.

  1. 有 \(2026 = 2 \times 1013\), 由 Sylow 定理知其存在 \(1013\) 阶子群 \(P\), 有 \([G : P] = 2\), 故 \(P \unlhd G\), 且 \(P \neq G, \ P \neq \{ e \}\). 故 \(G\) 不是单群;
  2. 有 \(G \unrhd P\), 又 \(P\) 为素数阶循环群, 故 \(P \unrhd \{ e \}\). 且有 \([G : P] = 2, |P| = 1013\), 均为素数, 故 \(G / P, \ P / \{ e \} \cong P\) 均交换, 故 \(G\) 可解;
  3. 有 \(G \cong \mathbb{Z}_{2} \oplus \mathbb{Z}_{1013} \cong \mathbb{Z}_{2026}\).

Q.E.D.